Задание 1.
Выберем в стандартный базис (то есть векторы
и
). В
выбираем тоже стандартный базис. Образы базисных векторов:
. Здесь уже есть два линейно независимых вектора:
и
, а потому
(а базис приведен чуть выше). Теперь ясно какая размерность ядра:
. Элементы ядра должны удовлетворять системе
. Уже отсюда можно было понять, что размерность ядра равна двум: четыре переменные и два уравнения, ограничивающие их. Тогда положив
, получим, например, решение
, а для
подойдет
. Итого два вектора:
. Линейная независимость этих векторов гарантирует, что они являются базисом ядра.
Задание 2.
Чтобы показать, что является базисом в
достаточно показать, что она линейно независима (достаточно, поскольку вектора два, а размерность
равна двум). В нашем случае система состоит из одного вектора
и потому не может быть базисом в
. Часть 2 решить все-таки не могу, поскольку
-- не базис.
Задание 3.
(A)
,
,
.
(B)
Поскольку размерность равна трем, то для того чтобы показать, что
-- базис, достаточно показать, что они линейно независимы. Это легко видеть хотя бы потому, что ранг матрицы
равен трем (поскольку ее определитель, равный
, ненулевой).
Задание 4.
В нашем случае имеем систему . Количество решений зависит от размерности пространства, которое задает данная система. По сути, можно рассматривать отображение
такое, что
. Тогда система задает ядро этого отображения, размерность которого в новой интерпретации ищется просто -- точно так же, как мы делали это в первой задаче. Образы базисных векторов:
дальше считать не стал, поскольку уже первые два вектора линейно независимы. Значит, размерность образа равна двум, но тогда ядро имеет размерность
. Следовательно, ядро как множество бесконечно (было бы конечным только в случае нульмерного ядра). То есть имеем две свободные переменные. Например, систему можно свести к
, тогда переменные
будут базисными, а
-- свободными. Ненулевое решение предъявить просто:
Пространство решений есть ядро
, а поскольку его размерность два, нам достаточно найти два линейно независимых решений системы. Одно мы уже нашли. Теперь положим
и тогда
-- решение. Но это два линейно независимых решения, а потому они образуют базис пространства решений.
Задание 5.
1. В нашем случае . Легко видеть, что берутся числа вида
, то есть
и потому
, значит,
состоит из тех и только тех чисел, у которых две последние координаты нулевые. Следовательно,
является подпространством, потому что это множество замкнуто относительно суммы (
) и умножения на скаляр.
2. . Несмотря на то что это множество замкнуто относительно суммы, оно не замкнуто относительно умножения на скаляр. В самом деле, например,
лежит в множестве, однако
-- не лежит. Следовательно, это множество не является подпространством.
3. . Здесь те же причины:
лежит в множестве, а
-- нет.
2) X1(H2SO4,t>140)=>X2
3) X2+HCI=>
4) X3 + KOH(спирт) =>X4
5) X4=>изопропилбензол
20) СaC2=>этин=>этаналь(KMno4,H+)=>X1(CaCO3) =>X2(t) =>X3
23). C6H6=>C6H5-CH(CH3)2 (KMnO4,H2SO4) =>X1(HNO3,1 моль) =>X2(Fe+, HCI) =>X3(NaOH,изб) =>X4
26) Al4C3(+H2O)=>X1(t)=>X2=> этаналь (KMnO4+H2O)=>X3=>X1
32) метанол => бромметан => этан(t,Ni)=> X1(H2O, H+) =>X2
37) C2H2(C,t=600) =>X1=> C6H5C2H5 (Br2, свет) => X2(KOH, спирт) => X3(KMnO4+H2O)=> X4
41) HCOOH(CI2,t)=> CO2=>C6H5OH=>C6H5ONa (HCI) =>X1 (HNO3)=>X2
44) C6H6 (CH3CI) =>X1 (KMnO4, H2SO4)=> бензойная кислота (H2SO4,t) => C6H5COOCH3 (NaoH)=> X2 (H2SO4)=> X3
46) 1 – пропан (KOH, спирт)=> X1 (H2O,H3PO4, P,t)=> X2 (CuO,t)=> X3 (H2,Pt) =>X2 (H2SO4, t>140)=> X1
49) ацетилен => бензол => этилбензол (+CI2)=> X1=> полистирол