1) Если дискриминант квадратного трёхчлена D>0, то квадратное уравнение ax²+bx+c=0 имеет два различных действительных корня.
В этом случае график квадр. трёхчлена - парабола, пересекает ось ОХ в двух точках х₁ и х₂, называемых корнями квадр.трёхчлена.
Причём, если а>0, то у параболы у=ах²+bx+c ветви направлены вверх.
Если же а<0, то ветви направлены вниз.
Соответственно, при решении квадратного неравенства ax²+bx+c>0 в случае D>0 , a>0 будем иметь ответ х∈(-∞,x₁)∪(x₂,+∞) ;
в случае D>0 , a<0 будем иметь х∈(х₁,х₂) , где х₁<х₂ - корни кв. трёхчлена.
См. рис. 1.
2) Если D=0, то квадр. уравнение имеет один корень (а точнее два действительных равных корня х₁=х₂) и квадратный трёхчлен будет представлять из себя полный квадрат: (х-х₁)²=0, х=х₁ .
График квадр. трёхчлена пересекает ось ОХ только в одной точке х=х₁.
При решении неравенства ax²+bx+c>0:
при D=0 , a>0 имеем х∈(-∞,х₁)∪(х₁,+∞) ;
при D=0 , a<0 решений неравенство не будет иметь, т.к. вся парабола расположена ниже оси ОХ, а ниже оси ОХ ординаты отрицательны (у<0),
то есть y=ax²+bx+c<0, либо ах²+bx+с=0 при х=х₁ .
В ответе надо записать: х∈∅ .
См. рис. 2.
3) Если D<0, то квадр. уравнение не имеет действительных корней.
График квадр. трёхчлена НЕ ПЕРЕСЕКАЕТ ось ОХ ни в одной точке,
при а>0 график расположен выше оси ОХ и все у(х)>0,
при а<0 график расположен ниже оси ОХ и все у(х)<0.
При решении квадр. неравенства ах²+bx+c>0:
при D<0 , a>0 имеем х∈(-∞,+∞) , так как какое бы значение "х" мы ни выбрали, соответствующее значение "у" будет положительным (у(х) >0).
при D<0 , a<0 имеем х∈∅, так как при любом значении "х" соответствующее значение "у" будет отрицательным (у(х)=ах²+bx+с<0) .
См. рис. 3.
1(б) x^2 -6x-7=0
D1=(-3)^2-1*(-7)=16 => корень из D1=4
x1=3+4=7 x2=3-4=-1
x^2-9x+14=0
D=(-9)^2-4*1*14=25 => корень из D=5
x1=9+5/2=7 x2=9-5/2=2
Записываем дробь с полученными корнями.
(x-7)(x+1)/(x-7)(x-2)=x+1/x-2
2(б) 3x^2-16x+5=0
D1=(-8)^2-3*5=49 => корень из D1=7
x1=8+7/3=5 x2=8-7/3=1/3
Нижнюю часть сократим на x, но будем помнить, что за этим x скрывается ещё один корень - 0.
x^2-4x-5=0
D1=(-2)^2-1*(-5)=9 => корень из D1=3
x1=2+3=5 x2=2-3=-1 x3=0
Подставляем.
(x-5)(x-1/3)/(x-5)(x+1)x=x-1/3/x(x+1)
