Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции g(x)=cos x -1/3 cos 3 x на отрезке [0; п/2] !

Answer 1

Найдём максимумы и минимумы, принадлежащие заданному отрезку.

Для этого найдём первую производную и приравняем её к 0.

После отберём корни, принадлежащие отрезку:

$g(x)=\cos x -\frac{1}{3} \cos 3 x\\\\g'(x) = -\sin x + \sin 3x\\\\\sin 3x-\sin x = 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\alpha - sin\beta = 2\sin\frac{\alpha - \beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\\\\2\sin x\cdot\cos 2x = 0\\\\1. \;\; \sin x = 0\\\\x = \pi n,\;n\in\mathbb{Z}\;\;\;x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\\\n = 0;\;\; x = 0\\\\\\2. \cos 2x = 0\\\\2x = \frac{\pi}{2} + \pi k\\\\x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k, \;k\in\mathbb{Z} \\\\k = 0;\;\;\;x = \frac{\pi}{4}\\\\$

$g(0) = \cos 0 - \frac{1}{3}\cos 0 = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\\\g(\frac{\pi}{2}) = \cos \frac{\pi}{2} - \frac{1}{3}\cos \frac{3\pi}{2} = 0\\\\g(\frac{\pi}{4}) = \cos \frac{\pi}{4} - \frac{1}{3}\cos \frac{3\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} +\frac{\sqrt2}{6} = \frac{3\sqrt2 + \sqrt2}{6} = \frac{2}{3}\sqrt2$

Наибольшее значение: max = f(π/4) = (2/3)×√2

Наименьшее значение: min = f(0) = 0