Многочлени
Многочленам називається алгебраїчна сума кількох одночленів.
Наприклад: 3ху + ab + 2; 172b - 2ху + а—многочлени.
Одночлени, з яких складається многочлен, називають його членами. Одночлен — окремий вид многочлена Многочлен, який містить два або три доданки, називають відповідно двочленом або тричленом.
Наприклад: а2 - b2, х + у — двочлени; а + ab + b, х2 + ху - у2 — тричлени.
Подібні члени многочлена— це однакові одночлени, або одночлени, запис яких у стандартному вигляді відрізняється лише коефіцієнтами.
Наприклад: у многочлені 15a2b + 3ab2 - 7a2b + 5аb2 перший і третій, другий і четвертий члени подібні.
Зведення подібних членів — це спрощення многочлена, при якому алгебраїчна сума подібних членів замінюється одним членом. Щоб звести подібні члени, треба додати їх коефіцієнти і результат помножити на їх спільну буквену частину.
Наприклад: 15а2b + 3аb2 - 7а2b + 5ab2 = 8a2b + 8аb2.
Стандартний вигляд многочлена — це запис многочлена, усі члени якого мають стандартний вигляд і серед них немає подібних.
Наприклад: а2 - ab + b2, ab + bс + ас — многочлени стандартного вигляду, а 3а2 + 2b2 - 3аb + а2 — многочлен нестандартного вигляду.
Степенем многочлена стандартного вигляду називають найбільший зі степенів одночленів, із яких складається многочлен. Степенем довільного многочлена називають степінь тотожно рівного йому многочлена стандартного вигляду.
Наприклад: степінь многочлена 5a7b + 5аb5 - 2а5b5 дорівнює степеню одночлена -2а5b5, тобто 5 + 5= 10.
Дії над многочленами
При додаванні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «+», то дужки можна опустити, зберігши знаки кожного одночлена.
Наприклад: (3х2 - 2х + 5) +(6х2 + 5х - 3) = 3х2 - 2х + 5 + 6х2 + 5х - 3 = 9х
2 + 3х + 2.
При відніманні многочленів користуються правилом розкриття дужок: якщо перед дужками стоїть знак «-», то дужки можна опустити, змінивши знак кожного одночлена, що містився в дужках, на протилежний.
Наприклад: (3х2 - 2х + 5) - (6х2 + 5х - 3) = 3х2 - 2х + 5 - 6х2 - 5х + 3= -3х2 - 7х +8.
Щоб записати алгебраїчну суму кількох многочленів як многочлен стандартного вигляду, треба розкрити дужки і звести подібні члени.
Наприклад: (2x2 - 3х + 2) - (3х2 - 2х -1) - (-х2 + 2х +1) + (-2х2 + х - 1) =
= 2х2 - 3х + 2 - 3х2 + 2х + 1 + х2 - 2х - 1 - 2х2 + х - 1 = -2х2 - 2х +1.
Щоб помножити одночлен на многочлен, треба кожний член многочлена помножити на цей одночлен й одержані одночлени додати.
Наприклад: 3а(а2 - 2а + аb) = 3а3 - 6а2 + 3а2b.
Щоб помножити многочлен на многочлен, треба кожний член одного многочлена помножити на кожний член другого многочлена й одержані одночлени додати.
Наприклад: (3х - 2)(2х - 3) = 3х ∙ 2х - 3х ∙ 3 - 2 ∙ 2х + 2 ∙ 3 = 6х2 - 9х - 4х + 6 = 6х2 - 13х + 6.
Щоб розділити многочлен на одночлен, треба кожний член многочлена розділити на цей одночлен й одержані результати додати.
Наприклад: (5х7 - 2х5 + 3х2 + 6х) : 2х = 5х7 : 2х - 2х5 : 2х + 3х2 : 2х + 6х : 2х = 2,5х6 - х4 + 1,5х + 3.
Розкладанням многочлена на множники називають запис многочлена у вигляді добутку многочленів.
Наприклад: 2ах + 6ау = 2а(х + 3y).
При розкладанні многочлена на множники використовують так .
1. Винесення спільного множника за дужки.
Наприклад: 5х2 +10х = 5х(х + 2).
іб групування.
Напри клад: 3х - 3у - х2 + ху = (3х - 3у) - (х2 - ху) = 3(х - у) - х(х - у) = (х - у)(3 - х).
3. Використання формул скороченого множення.
Формули скороченого множення
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу
(а + b)2 = а2 + 2 ab + b2.
Наприклад: (3а + 2b)2 = 9а2 +12аb + 4b2.
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого і другого виразів плюс квадрат другого виразу
(а - b)2 = а2 - 2ab + b2.
Наприклад: (3а - 2)2 = 9а2 - 12а + 4.
Добуток різниці двох виразів і їх суми дорівнює різниці квадратів цих виразів
(а - b)(а + b)= а2 - b2.
Наприклад: (5а - 3b)(5а + 3b) = 25а2 - 9b2.
Добуток суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів
(a + b)(a2 - ab + b2) - а3 + b3.
Наприклад: (3 + x)(9 - 3x + х2) = 27 + х3.
Добуток різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів
(a - b)(a2 +ab + b2) = а3 - b3.
Hаприклад: (2х - 3y)(4х2 + 6ху + 9у2) = 8x3 - 27у3.
Куб суми (різниці) двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс (мінус) потроєний добуток квадрата першого виразу на другий вираз плюс потроєний добуток першого виразу на квадрат другого виразу плюс (мінус) куб другого виразу
(a ± b)3 = а3 ± 3а2b + 3ab2 ± b3.
Наприклад: (2х - 3у)3 = 8х3 - 36х2у + 54хy2 -27y3;
(2 + 5х)3 = 8 + 60х+ 150х2 + 125х3.
х2=-25
ответ: нет корней, т. к. у отрицательного числа корни не извлекаются.