721. Для того чтобы найти нужный одночлен, нам нужно сначала привести уравнения к единому виду.
1) У нас дано уравнение: 15n? + 10n' + 35n = 3 + 2n + 7n
Для начала, приведем подобные слагаемые по левую и правую сторону уравнения:
15n? + 10n' + 35n = 3 + 2n + 7n
Получаем: 15n? + 10n' + 35n - (2n + 7n) = 3
Дальше, объединяем все слагаемые с n:
15n? + 10n' + 35n - 2n - 7n = 3
Упрощаем:
15n? + (10n' + 35n - 2n - 7n) = 3
15n? + (10n' + 28n) = 3
Теперь, нам нужно выразить часть выражения в скобках как произведение:
10n' + 28n = 2*(5n') + 4*(7n) = 2*5n' + 4*7n = 10n' + 28n
Теперь, подставим оба выражения обратно в уравнение:
15n? + (10n' + 28n) = 3
15n? + 10n' + 28n = 3
Теперь, у нас есть две группы слагаемых: одна с n?, а другая без n?.
Для выполнения то-тожности, сумма слагаемых без n? должна быть равна нулю.
Мы можем записать уравнение в таком виде:
15n? + (10n' + 28n) - (10n' + 28n) = 3 - (10n' + 28n)
После приведения подобных:
15n? + 0 = 3 - 10n' - 28n
Упрощаем:
15n? = 3 - 10n' - 28n
15n? = -10n' - 28n + 3
Уравнение приведено к единому виду. Теперь, находим одночлен заменой звездочки.
Предположим, что искомый одночлен будет иметь вид a*n + b.
Тогда, уравнение можно записать в виде:
15n? = a*n + b - 10n' - 28n + 3
После объединения всех слагаемых с n:
15n? = (a - 10)*n + (b - 28n + 3)
Теперь, у нас есть две группы слагаемых: одна с n?, а другая без n?.
Для выполнения то-тожности, сумма слагаемых без n? должна быть равна нулю.
Мы можем записать уравнение в таком виде:
15n? + 0 = (a - 10)*n + (b - 28n + 3)
После приведения подобных:
15n? = (a - 10)*n + (b - 28n + 3)
Теперь, у нас получилось уравнение, в котором коэффициенты при n и n? должны быть равны:
15 = a - 10
0 = b - 28n + 3
Решаем первое уравнение:
a = 15 + 10
a = 25
Подставляем a во второе уравнение:
0 = b - 28n + 3
b = 28n - 3
Подставляем значения a и b обратно в уравнение:
15n? = 25*n + (28n - 3) - 10n' - 28n + 3
Упрощаем:
15n? = 25n + 28n - 3 - 10n' - 28n + 3
15n? = 25n - 10n' + 0
15n? = 25n - 10n'
Таким образом, искомым одночленом будет 15n? = 25n - 10n'.
2) У нас дано уравнение: 42mn* + 49mn* + 35m'n' = * - (бm'n +7mn? + 5)
Для начала, приведем подобные слагаемые по левую и правую сторону уравнения:
42mn* + 49mn* + 35m'n' = * - (бm'n +7mn? + 5)
Получаем: 42mn* + 49mn* + 35m'n' + (бm'n +7mn? + 5) = *
Здесь мы имеем сложение слагаемых без n* со слагаемыми, содержащими n*.
Для выполнения то-тожности, сумма слагаемых без n* должна быть равна нулю.
Мы можем записать уравнение в таком виде:
42mn* + 49mn* + 35m'n' + (бm'n +7mn? + 5) = 0
Теперь, у нас есть две группы слагаемых: одна с n*, а другая без n*.
Для выполнения то-тожности, сумма слагаемых без n* должна быть равна нулю.
Мы можем записать уравнение в таком виде:
(42mn* + 49mn*) + (35m'n' + бm'n +7mn? + 5) = 0
После объединения всех слагаемых без n*:
(42mn* + 49mn*) + (35m'n' + бm'n +7mn? + 5) = 0
Теперь, у нас есть две группы слагаемых: одна с n*, а другая без n*.
Для выполнения то-тожности, сумма слагаемых с n* должна быть равна нулю.
Мы можем записать уравнение в таком виде:
0 + (35m'n' + бm'n +7mn? + 5) = 0
После приведения подобных:
0 + (35m'n' + бm'n +7mn? + 5) = 0
Теперь, у нас получилось уравнение, в котором коэффициенты при n* и без n* должны быть равны:
0 = 35m'n' + бm'n +7mn? + 5
Решаем уравнение:
0 = 35m'n' + бm'n +7mn? + 5
Решение этого уравнения будет зависеть от коэффициентов при каждом слагаемом.
Таким образом, чтобы решить уравнение, нужно знать, какие значения имеют б и м, чтобы привести его к виду, в котором нам будет проще решать.
Добрый день, я готов выступить в роли школьного учителя и решить вашу задачу!
Чтобы доказать это равенство, мы воспользуемся принципом математической индукции. Принцип математической индукции используется для доказательства утверждений, которые зависят от натурального числа n.
Шаг 1: База индукции
В базе индукции мы проверяем, выполняется ли равенство для наименьшего значения n, то есть n = 1.
Подставим n = 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6
(1^2) = (1*(1+1)*(2*1+1))/6
1 = (1*2*3)/6
1 = 6/6
1 = 1
Таким образом, равенство выполняется при n = 1.
Шаг 2: Предположение индукции
Мы предполагаем, что равенство выполняется для некоторого числа k, то есть предполагаем, что (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2) = (k*(k+1)*(2k+1))/6.
Шаг 3: Индукционный переход
Мы должны доказать, что если равенство выполняется для числа k, то оно также выполняется для k + 1.
Подставим n = k + 1 в данное равенство:
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*((k + 1) + 1)*(2(k + 1) + 1))/6
(1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6
Мы можем заметить, что левая часть равенства (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + k^2 + (k + 1)^2) соответствует сумме первых (k + 1) квадратов, а правая часть равенства ((k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6 соответствует формуле для суммы первых (k + 1) квадратов.
По нашему предположению индукции, левая часть равенства равна ((k*(k+1)*(2k+1))/6 + (k + 1)^2) = ((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6.
Теперь мы можем преобразовать это равенство:
((k*(k+1)*(2k+1) + 6(k + 1)^2))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1))/6 + 6(k + 1)))/6 = ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6.
Таким образом, мы получаем: ((k + 1)*((k*(2k+1) + 36(k + 1)))/6 = (k + 1)*(k + 2)*(2k + 3))/6.
Таким образом, равенство выполняется для n = k + 1.
Шаг 4: Заключение
Мы доказали, что используя принцип математической индукции, для любого натурального числа n выполняется равенство (1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + 1^2 + n^2) = (n*(n+1)*(2n+1))/6.
Я надеюсь, что данное объяснение помогло вам понять решение данной задачи! Если у вас остались вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.
