Решение: 1) Область определения: D(y) x²-2x≠0 (-∞;0) (0;2) (2;∞) 2) Множество значений функции: (-∞;∞) 3) Проверим является функция четной или нечетной: y(x)=(x-1)/(x²-2x) y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной. 4) Найдем нули функции: у=0, получаем х-1=0; х=1 Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0) 5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания: y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0 -x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет. Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает. 6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции: y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0 2x³-6x²+6x-4=0 (x-1)(x²-2x+4)=0 x=1 Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз. Точка х=1 является точкой перегиба функции. у (1)=0 7) Найдем асимптоты функции: а) вертикальные: lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой. lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞ lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой. б) наклонные у=kx+b k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0 b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0 следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой: 8) Все строй график!
Номинальный вес всех гирек (ну, тот, который должен быть, если бы не гады-торговцы) 4500 г. Разделим их на три группы по три гирьки так, чтобы суммарный вес каждой группы гирь был 1500 г - т.е. на одинаковые по весу кучки. Это можно сделать, к примеру, так: 1) 200, 600 и 700; 2) 100, 500 и 900; 3) 300, 400 и 800. Приступаем к взвешиванию.
1. Погружаем на чаши весов две кучки - любые, к примеру, на левую чашу - кучку № 1, на правую - кучку № 2. Если одна из кучек оказалась легче другой, значит, фальшивый эталон в ней, этой самой легкой кучке; если обе кучки весят одинаково, то кучка с затесавшимся в нее фальшивым эталоном - третья, т.е. та, которую не взвешивали.
2. Берем "лёгкую" кучку и выбираем из нее две гирьки (третью гирьку убираем подальше, но не смешиваем с остальными, потому что остальные - наверняка полновесные, а эта, отдельно лежащая, может оказаться той самой, которую мы пытаемся обнаружить). Затем кладем в две чаши весов две выбранные ранее гирьки - те, что у меня выделены жирным шрифтом; к каждой добавляешь из "хороших" гирь одну так, чтобы на левой и правой чаше номинальный вес получился одинаковым. Взвешиваем. Если чаши уравновесились, то фальшивая гиря - та, что отложена. Если одна чаша легче, то фальшивая на ней, и именно та, что сначала была выделена жирным шрифтом))).
Для лучшего понимания приведу пример.
Вот разделили мы гири на 3 кучки так, как я предлагала сначала. Повторю раскладку: 1) 200, 600 и 700; 2) 100, 500 и 900; 3) 300, 400 и 800.
Взвешиваем первую и вторую кучки.
Если легче оказалась первая, гирьку, к примеру, в 700 г откладываем отдельно, а гирьки на 200 и 600 г и кладем на разные чаши весов; к первой добавляем из второй, хорошей, кучки гирю в 900 г, а ко второй - гирю в 500 г (потенциально плохие гирьки я выделяю жирным). В итоге на каждой чаше должно лежать по 1100 г. Если они и вправду весят одинаково, то фальшивая гирька - отложенная, т.е. 700 г. Если легче первая чаша, то плохая гирька - 200 г, если вторая - то 600 г.
Если легче оказалась вторая кучка, то откладываем гирьку в 100 г, а на весы кладем гири в том же порядке, что и в раз. Тогда в случае равновесия плохая - 100 г, если легче первая чаша - то 900 г, а если легче вторая - то 500 г.
Если первые две кучки равновесны, то распределяем для проверки третью кучку, потому что фальшивка - в ней. Допустим, 800 откладываем в сторонку, 300 кладем на левую чашу, а 400 на правую. Добавляем на левую 700 г, на правую 600 г. Взвешиваем. Вес равный - тогда фальшивая 800 г, левая легче - фальшивка 300 г, правая легче - фальшивая гиря в 400 г.
Целое решение неравенства - это целое число, входящее в область решений неравенства. Пример 1: x-3<5 x<5+3 x<8 Решением этого неравенства является интервал (-∞;8) В этот интервал входят, например, целые числа -6; 0; 1; 5; 7 и т.д. Эти числа и будут называться целыми решениями неравенства. Пример 2: 4< x < 8 Решением является открытый интервал (4;8). В этот интервал входят целые числа 5; 6 и 7. Они и будут являться целыми решениями неравенства. Пример 3: 4≤ х ≤ 8 Решением неравенства является закрытый интервал [4:8]. В этот интервал входят целые числа 4; 5; 6; 7 и 8. Они и будут являться целыми решениями неравенства.
1) Область определения: D(y) x²-2x≠0
(-∞;0) (0;2) (2;∞)
2) Множество значений функции: (-∞;∞)
3) Проверим является функция четной или нечетной:
y(x)=(x-1)/(x²-2x)
y(-x)=(-x-1)/(x²+2x), так как y(-x)≠-y(x) и y(x)≠y(-x), то функция не является ни четной ни не четной.
4) Найдем нули функции:
у=0, получаем х-1=0; х=1
Итак график пересекат ось абсцисс в точке (1;0)
5) Найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания:
y'=(x²-2x-(2x-2)(x-1))/(x²-2x)²=(-x²+2x-2)/(x²-2x)² ; y'=0
-x²+2x-2=0 уравнение не имеет корней, следовательно точей экстремума функция не имеет.
Так как y'< 0 на всей области определения, то функция убывает.
6) Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости функции:
y"=((2-2x)(x²-2x)²-2(x²-2x)(2x-2)(2x-x²-2))/(x²-2x)^4=(2x³-6x²+6x-4)/(x²-2x)³; y"=0
2x³-6x²+6x-4=0
(x-1)(x²-2x+4)=0
x=1
Так как промежутках (-∞;0) (0;1) y"< 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вверх
Так как на промежутках (1;2) (;∞) y"> 0, то на этих промежутках график направлен выпуклостью вниз.
Точка х=1 является точкой перегиба функции.
у (1)=0
7) Найдем асимптоты функции:
а) вертикальные:
lim (при х->0-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->0+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=0 является вертикальной асимптотой.
lim (при х->2-) (x-1)/(x²-2x)=-∞
lim (при х->2+) (x-1)/(x²-2x)=∞ следовательно прямая х=2 является вертикальной асимптотой.
б) наклонные у=kx+b
k=lim (при x->∞) y(x)/x=lim (при x->∞) (x-1)/(x³-2x²)=0
b=lim (при x->∞) (y(x)-kx)=lim (при x->∞) (x-1)/(x²-2x)=0
следовательно прямая у=0 является горизонтальной асимптотой:
8) Все строй график!