(-∞; (15 - √253) / 14) ∪ ((15 + √253) / 14; +∞)
Объяснение:
(3 - х)(7х + 1) < 5х + 2
21х + 3 - 7х² - х < 5x + 2
-7x² + 20x + 3 < 5x + 2
-7x² + 20x - 5x + 3 - 2 < 0
-7x² + 15x + 1 = 0
D = 15² - 4 * (-7) = 225 + 28 = 253
√D = √253
x₁ = (-15 - √253) / (-7 * 2) = -(15 + √253) / (-14) = (15 + √253)/14 (примерно 2,207)
x₂ = (-15 + √253) / (-7 * 2) = -(15 - √253) / (-14) = (15 - √253) / 14 (примерно -0,06)
начертим координатную прямую (см. рис)
подставим -1 вместо х в неравенство (3 - х)(7х + 1) - 5х - 2 < 0 . Будет:
(3 - (-1)) * (7 * (-1) + 1) - 5 * (-1) - 2 =
= 4 * (-7 + 1) + 5 - 2 =
= -6 * 4 + 5 - 2 =
= -24 + 5 - 2 = -21
впишем в промежутке от -∞ до (15 - √253) / 14 знак "-"
подставим 0 вместо х в неравенство (3 - х)(7х + 1) - 5х - 2 < 0 . Будет:
(3 - 0) * (7 * 0 + 1) - 5 * 0 - 2 = 3 * 1 - 2 = 1
впишем в промежутке от (15 - √253) / 14 до (15 + √253)/14 знак "+"
подставим 3 вместо х в неравенство (3 - х)(7х + 1) - 5х - 2 < 0 . Будет:
(3 - 3) * (7 * 3 + 1) - 5 * 3 - 2 = 0 - 15 - 2 = -17
впишем в промежутке от (15 + √253) / 14 до +∞ знак "-"
Неравенство принимает отрицательное значение в промежутках:
(-∞; (15 - √253) / 14) ∪ ((15 + √253) / 14; +∞)
Пусть х км/ч - скорость велосипедиста, тогда (х + 16) км/ч - скорость спортсмена. Уравнение:
24/х - 16/(х+16) = 1
24 · (х + 16) - 16 · х = 1 · (х + 16) · х
24х + 384 - 16х = х² + 16х
8х + 384 = х² + 16х
х² + 16х - 8х - 384 = 0
х² + 8х - 384 = 0
D = b² - 4ac = 8² - 4 · 1 · (-384) = 64 + 1536 = 1600
x = (-8-√D)/(2·1) = (-8-40)/2 = (-48)/2 = - 24 - не подходит
х = (-8+√D)/(2·1) = (-8+40)/2 = 32/2 = 16 км/ч - скорость велосипедиста
16 + 16 = 32 км/ч - скорость спортсмена
ответ: 16 км/ч и 32 км/ч.
Проверка:
24/16 - 16/32 = 1,5 - 0,5 = 1 (ч) - на столько быстрее бегун пробежал дистанцию.
4x² + 8x + a = 0
Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда дискриминант равен нулю .
D = 8² - 4 * 4 * a = 64 - 16a
64 - 16a = 0
16a = 64
a = 4
При a = 4 уравнение имеет единственный корень