Question

Подскажите, как решаются такого вида уравнения? тригонометрия tgx - 2ctgx +1=0 вроде и на множители не разложить, и на косинус не разделить. а в чем же дело?

Answer 1

Ctg(x)=1/tg(x). Поэтому это все сводится к квадратному уравнению, если сделать замену tg(x)=t. Получится
t-2/t+1=0
(t^2+t-2)/t=0. Решаем квадратное уравнение в числителе, получаем
t=-2 и t=1.
Значит, tg(x)=-2, откуда $x={\rm arctg}(-2)+\pi k$
и tg(x)=1, откуда $x=\pi/4+\pi k$, где $k\in\mathbb{Z}$.

Answer 2

$tg x-2ctg x+1=0$
ОДЗ:
$x \neq \frac{\pi}{2}+\pi*n; x \neq \pi*k$
$x \neq \frac{\pi*l}{2}$
k, n, l є Z
Далее используем тождество $ctg x=\frac{1}{tg x}$
Вводим замену
$t=tg x$
Получим уравнение:
$t-2*\frac{1}{t}+1=0$
$t \neq 0$
Домножим обе части на t, чтобы избавиться от знаменателя и получим квадратное уравнение
$t^2+t-2=0$
$(t+2)(t-1)=0$
$t+2=0;t_1=-2$
$t-1=0;t_2=1$
возвращаемся к замене
$tg x=-2; x=-arctg 2+\pi*m$
$tg x=1;x=\frac{\pi}{4}+\pi*r$
m.r є Z
отвте: $-arctg 2+\pi*m;$, $\frac{\pi}{4}+\pi*r$
m.r є Z