Question

Решить этот интеграл. я не знаю, что делать : найти экстремум функции 2-х переменных: z=e^(-2y^2) *(x^2 +y)

Answer 1

Bb$z=e^{-2y^2}\cdot (x^2+y)\\\\z'_{x}=e^{-2y^2}\cdot 2x=0\; \; \to \; \; x=0\; \; (e^{-2y^2}\ \textgreater \ 0)\\\\z'_{y}=-4y\cdot e^{-2y^2}\cdot (x^2+y)+e^{-2y^2}\cdot 1=e^{-2y^2}\cdot (-4x^2y-4y^2+1)=0\\\\-4x^2y-4y^2+1=0\\\\Pri\; x=0:\; \; -4x^2y-4y^2+1\, |_{x=0}=-4y^2+1=0\; \to \; y=\pm \frac{1}{2}\\\\A(0,-\frac{1}{2}),\; \; B(0,\frac{1}{2})\\\\z''_{xx}=2e^{-2y^2},\; z''_{xy}=2x\cdot (-4y)e^{-2y^2},\\\\z''_{yy}=-4y^2\cdot e^{-2y^2}(-4x^2y-4y^2+1)+e^{-2y^2}(-4x^2-8y)$

$z''_{xx}(A)=2e^{-\frac{1}{2}}\; ,\; z''_{xy}(A)=0\; ,\; z''_{yy}(A)=4e^{-\frac{1}{2}}\\\\\Delta(A)= \left|\begin{array}{ccc}2e^{-\frac{1}{2}&0}\\0&4e^{-\frac{1}{2}\end{array}\right|=8e^{-1} 0$

$z''_{xx}(A)\ \textgreater \ 0\; \to \; min\\\\z_{min}=z(0,-\frac{1}{2})=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{2}}$

$z''_{xx}(B)=2e^{-\frac{1}{2}},\; z''_{xy}(B)=0,\; z''_{yy}(B)=-4e^{-\frac{1}{2}}\\\\\Delta(B)= \left|\begin{array}{ccc}2e^{{-\frac{1}{2}}&0\\0&-4e^{-\frac{1}{2}}\end{array}\right| =-8e^{-1}\ \textless \ 0\; \to \; net\; ekstremyma$