Алгебра: Найдите производную функции y=(x^2+3)(x^4-1) y=(x^2-2)(x^7+4)

1) sin2x=sinx 2sinx*cosx-sinx=0 sinx(2cosx-1)=0 sinx=0 или 2cosx-1=0 x=πn 2cosx=1 cosx=1/2 x= ± 2) -sin2x=cosx 2sinx*cosx+cosx=0 cosx(2sinx+1)=0 cosx=0 или 2sinx+1=0 x=π/2+πn 2sinx=-1 ...

Найдите производную функции y=(x^2+3)(x^4-1) y=(x^2-2)(x^7+4)

👇

Увидеть ответ

Ответ:

Vova50915091

07.04.2020

$1)y' = ((x^2+3)(x^4-1))' = (x^6+3x^4-x^2-3)' = 6x^5+12x^3-2x\\
2)y'=((x^2-2)(x^7+4))'=(x^9-2x^7+4x^2-8)'=9x^8-14x^6+8x$

4,6(67 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

doc9w

07.04.2020

Пусть в сектор $\mathrm{AOB}$ вписан прямоугольник $\mathrm{KLMN}$ . $\mathrm{P}$ и $\mathrm{Q}$ - середины сторон $\mathrm{KL}$ и $\mathrm{MN}$ соответственно. Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то две его стороны перпендикулярны этой оси, а две другие стороны - параллельны этой оси.

Так как прямоугольник симметричен оси симметрии сектора, то:

$\mathrm{\angle\ AOC=\angle\ BOC=\alpha}$

Проведем луч $\mathrm{ON}$ , составляющий с осью симметрии сектора угол . Зададим ограничения на х: $x\in[0;\ \alpha ]$

Найдем сторону прямоугольника, перпендикулярную оси симметрии сектора.

Рассмотрим треугольник $\mathrm{OQN}$ . Запишем соотношение для синуса угла х:

$\sin x=\mathrm{\dfrac{QN}{ON}}$

Заметим, что $\mathrm{ON}$ соответствует радиусу сектора. Тогда, выражение для $\mathrm{QN}$ примет вид:

$\mathrm{QN}=R\cdot\sin x$

Так как $\mathrm{QN}$ - половина стороны $\mathrm{MN}$ , то найдена первая сторона прямоугольника:

$\mathrm{MN}=2R\cdot\sin x$

Найдем сторону прямоугольника, параллельную оси симметрии сектора. Представим ее длину в виде:

$\mathrm{LM=KN=PQ=OQ-OP}$

Длину найдем из того же прямоугольного треугольника $\mathrm{OQN}$ , записав выражение для косинуса угла :

$\cos x=\mathrm{\dfrac{OQ}{ON}}$

Выражаем $\mathrm{OQ}$ :

$\mathrm{OQ}=R\cdot \cos x$

Длину $\mathrm{OP}$ найдем из прямоугольного треугольника $\mathrm{OPK}$ . Запишем выражение для тангенса угла $\alpha$ :

$\mathrm{tg}\alpha =\mathrm{\dfrac{PK}{OP} }$

Откуда:

$\mathrm{OP=\dfrac{PK}{\mathrm{tg}\alpha} }$

Так как $\mathrm{PK=QN}$ , то:

$\mathrm{OP}=\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Таким образом, найдена вторая сторона прямоугольника:

$\mathrm{LM}=R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}$

Площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон:

$S=\mathrm{MN\cdot LM}$

$S=2R\cdot\sin x\cdot\left(R\cdot \cos x-\dfrac{R\cdot\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Найдем производную:

$S'=2R^2\cdot(\sin x)'\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)'$

$S'=2R^2\cdot\cos x\cdot\left( \cos x-\dfrac{\sin x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)+2R^2\cdot\sin x\cdot\left(-\sin x-\dfrac{\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}-\sin^2 x-\dfrac{\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos^2 x-\sin^2 x-\dfrac{2\sin x\cos x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)$

Приравняем производную к нулю:

$2R^2\cdot\left( \cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=0$

$\cos2x-\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }=0$

$\dfrac{\sin 2x}{\mathrm{tg}\alpha }= \cos2x$

$\sin 2x= \cos2x\mathrm{tg}\alpha$

$\mathrm{tg}2x= \mathrm{tg}\alpha$

Учитывая ограничения $x\in[0;\ \alpha ]$ получим, что:

$x=\dfrac{\alpha }{2}$

Проверим, является ли эта точка точкой экстремума.

Найдем значение производной при x=0 :

$S'=2R^2\cdot\left( \cos0-\dfrac{\sin 0}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( 1-0\right)=2R^2$

Найдем значение производной при $x=\alpha$ :

$S'=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{\sin 2\alpha }{\mathrm{tg}\alpha}\right)=2R^2\cdot\left( \cos2\alpha -\dfrac{2\sin \alpha \cos^2\alpha }{\sin\alpha}\right)=$

$=2R^2\cdot\left( 2\cos^2\alpha-1 -2\cos^2\alpha \right)=2R^2\cdot\left( -1 \right)=-2R^2$

При переходе через точку $x=\dfrac{\alpha }{2}$ производная меняет знак с плюса на минус. Значит, это точка максимума.

Найдем значение максимума:

$S\left(\dfrac{\alpha }{2}\right)=2R^2\cdot\sin \dfrac{\alpha }{2}\cdot\left( \cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{\sin \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=$

$=R^2\left( 2\sin \dfrac{\alpha }{2}\cos \dfrac{\alpha }{2}-\dfrac{2\sin^2 \dfrac{\alpha }{2}}{\mathrm{tg}\alpha}\right)=R^2\left( \sin \alpha-\dfrac{2\cdot\dfrac{1-\cos\alpha }{2}} {\mathrm{tg}\alpha}\right)=$