Question

Решить систему уравнений x^3+x^3*y^3+y^3=17 и x+xy+y=5

Answer 1

$\begin{cases} & \text{ } x^3y^3+x^3+y^3-17=0 \\ & \text{ } xy+x+y-5=0 \end{cases}$
 Произведем замену переменных
Пусть x+y = u, xy = v, в результате замены переменных получаем уравнение
$\begin{cases} & \text{ } x^3y^3+(x^3+y^3)-17=0 \\ & \text{ } xy+(x+y)-5=0 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } v^3+u^3-3vu-17=0 \\ & \text{ } v+u-5=0 \end{cases}$
 Опять же сделаем замену
Пусть $u+v=a;\,\,\, b=uv$, тогда получаем
$\begin{cases} & \text{ } a^3-3ab-b-17=0 \\ & \text{ } a=5 \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } 5^3-15b-3b-17=0 \\ & \text{ } a=5 \end{cases}\to \\ \to \begin{cases} & \text{ }6-b=0 \\ & \text{ } a=5 \end{cases}\to\begin{cases} & \text{ } b=6 \\ & \text{ } a=5 \end{cases}$

Возвращаясь от подстановки к v, и
 $\begin{cases} & \text{ } uv=6 \\ & \text{ } u=5-v \end{cases}\to \begin{cases} & \text{ } (5-v)v=6 \\ & \text{ } u=5-v \end{cases}$
$v^2-5v+6=0 \\ T.\,\,BueTa:\,\,\, v_1=2;\,\,\,\, v_2=3\\ u_1=3;\,\,\,\,\,u_2=2$

Возвращаемся к замене
   $\left[\begin{array}{ccc}\begin{cases} & \text{ } xy=2 \\ & \text{ } x+y=3 \end{cases}\\ \begin{cases} & \text{ } xy=3 \\ & \text{ } x+y=2 \end{cases}\end{array}\right$
Решим системы уравнения отдельно.
  $\begin{cases} & \text{ } xy=2 \\ & \text{ } x+y=3 \end{cases}$
 Из уравнения 2 выразим переменную и подставим вместо х в первое уравнение
$\begin{cases} & \text{ } (3-y)y=2 \\ & \text{ } x=3-y \end{cases}\\ 3y-y^2=2\\ y^2-3y+2=0;\\ T.\,\, BueTa:\,\, y_1=2;\,\,\,y_2=2\\ x_1=2;\,\,\,\, x_2=1$

$\begin{cases} & \text{ } xy=3 \\ & \text{ } x+y=2 \end{cases}$
 Из уравнения 2 выразим переменную х затем подставим в первое уравнение вместо х
 $\begin{cases} & \text{ } (2-y)y=3 \\ & \text{ } x=2-y \end{cases}\\ 2y-y^2=3\\ y^2-2y+3=0$
 Вычислим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-2)^2\cdot -4\cdot 1\cdot 3=-8\ \textless \ 0$
D<0, значит уравнение корней не имеет

Окончательный ответ: $(2;1),\,\,(1;2).$