Question

Составьте уравнение касательной к графику функции y=2 корень из 4x +1,в точке с абциссой x=2

Answer 1

Запишем уравнение касательной в общем виде:
 $f(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)$
В данном случае дано функцию $y=2 \sqrt{4x+1}$ и точку х₀ = 2
 Найдем производную функции(заметим что функция составная)
$y'=(4x+1)'\cdot (2 \sqrt{4x+1})'=4\cdot \frac{2}{2 \sqrt{4x+1} } = \frac{4}{ \sqrt{4x+1} }$
Следовательно, значение производной в точке x₀ равно
$y'(x_0)= \frac{4}{ \sqrt{1+4\cdot 2} } = \frac{4}{3}$
А значение функции в точке х₀ будет
$y(x_0)=2 \sqrt{4\cdot 2+1}=6$

В итоге, уравнение касательной будет такой
$f(x)= \frac{4}{3} (x-2)+6= \boxed{\frac{4x}{3} +\frac{10}{3}}$

Окончательный ответ: $f(x)=\frac{4x}{3} +\frac{10}{3}$