Question

Спроизводной, g(x)= у меня три разных ответа уже получилось, но ни один с ответом учебника не совпал. что-то делаю не так

Answer 1

$g(x)=\sqrt[3]{3x-1}=(3x-1)^{\frac{1}{3}}\\\\g'(x)=\frac{1}{3}\cdot (3x-1)^{-\frac{2}{3}}\cdot (3x-1)'=\frac{1}{3\sqrt[3]{(3x-1)^2}}\cdot 3\\\\g'(\frac{2}{3})=\frac{1}{\sqrt[3]{(2-1)^2}}=1$

P.S. Есть две формулы для вычисления производной. Когда функция зависит от переменной х, и когда функция зависит от функции. В вашем примере функция g(x) - степенная, но зависит не от переменной х, а от функции (3х-1).

$(x^{n})'=n*x^{n-1}\\\\(u^{n})'=n*u^{n-1}*u'$

Здесь u(x) - какая-либо функция (называют её внутренняя). В вашем примере u=3x-1.

$(u^{\frac{1}{3}})'=\frac{1}{3}*u^{-\frac{2}{3}}*u';u=3x-1$

Если бы , например, было такое условие $y=(sinx)^{\frac{1}{3}}$ ,то

$y'=\frac{1}{3}*(sinx)^{-\frac{2}{3}}*(sinx)'=\frac{1}{3}*(sinx)^{-\frac{2}{3}}}*cosx$

Правило это называется дифференцированием сложной функции.Чтобы найти производную сложной функции, надо производную внешней функции умножить на производную внутренней функции. 
И так во всех формулах, которые вы знаете. Например,

$(sinx)'=cosx,(sinu)'=cosu*u'\\\\(lnx)'=\frac{1}{x},(lnu)'=\frac{1}{u}*u'........................$