Question

Найдите наибольшее значение выражения x^2/x-1 если x^2+ (x/x-1)^2=8

Answer 1

Решаем уравнение $x^2+ ( \frac{x}{x-1})^2=8$
1) Домножаем все на (x-1)² и переносим все в одну сторону, получаем
x²(x-1)²+x²-8(x-1)²=0
2) Раскрыв скобки, имеем: $x^4-2x^3-6x^2+16x-8=0$
3) Разложим на множители левую часть делением многочлена на двучлен (постепенно):
(x-2)²(x²+2x-2)=0
x-2 = 0 или х²+2х-2=0
Отсюда: $x_1=2,\ x_2= -1-\sqrt3,\ x_3=-1+\sqrt3.$

Вычислим значения дроби $\frac{x^2}{x-1}$ для каждого решения х, и выберем наибольшее значение:
$x_1=2 =\ \textgreater \ \frac{2^2}{2-1}=4$
$\\ x_2= -1-\sqrt3\ =\ \textgreater \ \frac{(-1-\sqrt3)^2}{-1-\sqrt3-1}=\frac{4+2\sqrt3}{-2-\sqrt3}=\frac{2(2+\sqrt3)}{-(2+\sqrt3)}=-2$
$x_3= -1+\sqrt3\ =\ \textgreater \ \frac{(-1+\sqrt3)^2}{-1+\sqrt3-1}=\frac{4-2\sqrt3}{-2+\sqrt3}=\frac{2(2-\sqrt3)}{-(2-\sqrt3)}=-2$
Наибольшее - число 4.