Question

Известно, что f(2015)≠0, а также, что для любых x и y f(x)⋅f(y)=f(x−y). найдите возможные значения f(100500).

Answer 1

Поиграем с соотношением f(x) * f(y) = f(x - y).
1) Подставим x = 2015, y = 0.
$f(2015) \cdot f(0) = f(2015)$ - делим на f(2015) ≠ 0, получаем f(0) = 1
2) Подставляем y = x:
$f(x) \cdot f(x) = f(x - x) = f(0) = 1\\ f(x)^2=1$
3) f(x) - четная функция: f(x - y) = f(x)f(y) = f(y)f(x) = f(y - x)

Следовательно, функция удовлетворяет равенству
f(x + y) = f(x)f(y)

Все значения выражаются через f(1): f(2) = f(1 + 1) = f(1) * f(1) = f(1)^2
f(3) = f(2 + 1) = f(1)^2 * f(1) = f(1)^3
...
f(n) = f(1)^n
f(100500) = (f(1)^2)^50250 = 1^50250 = 1