Question

помгите. крифметическая прогрессия! сумма первых трех членов возрастающей арифметической прогресси равна 15. если от первых двух членов отнять по еденице, а к третьему члену прибавить еденицу то прогрессия станет . найти сумму первых десяти членов арифметической прогрессии.

Answer 1

Сумма первых трех членов арифметической прогрессии равна 15, значит:
$a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)=15 \\\ 3a_1+3d=15 \\\ a_1+d=5 \\\ \Rightarrow d=5-a_1$

По свойству геометрической прогрессии $b_n^2=b_{n-1}b_{n+1}$:
$(a_1+d-1)^2=(a_1-1)(a_1+2d+1) \\\ (a_1+5-a_1-1)^2=(a_1-1)(a_1+2(5-a_1)+1) \\\ 4^2=(a_1-1)(a_1+10-2a_1+1) \\\ 16=(a_1-1)(11-a_1) \\\ 16=11a_1-11-a_1^2+a_1 \\\ a_1^2-12a_1+27=0 \\\ D_1=6^2-27=9 \\\ (a_1)_1=6+3=9 \Rightarrow d_1 \neq 5-9=-4\ \textless \ 0 \\\ (a_1)_2=6-3=3 \Rightarrow d_2=5-3=2$
Так как прогрессия возрастающая, то вариант с d=-4 не подходит.

Находим сумму первых 10 членов арифметической прогрессии:
$S_{n}= \frac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n \\\ S_{10}= \frac{2a_1+9d}{2} \cdot 10=\frac{2\cdot 3+9\cdot2}{2} \cdot 10=120$

ответ: 120