Question

Выберите неверное неравенство,если известно,что х^2 + у^2=1,х > 0 и у> 0"1.х+у> 1 2.у^2< 1 3.х^3> х^2 4.у

Answer 1

Из первого равенства очевидным образом следуют неравенства $|x| \ \textless \ 1, |y| \ \textless \ 1$
Отсюда легко убедиться в справедливости неравенства под номером 2. Для этого достаточно обе части неравенства $|y| \ \textless \ 1$ возвести в квадрат, получив, $y^{2} \ \textless \ 1$, что и требовалось проверить.

Первое неравенство можно проверить, например, следующим образом. Представим первое равенство следующим образом:
$x^{2} + y^{2} = 1 \\ (x+y)^{2} - 2xy = 1 \\ (x+y)^{2} = 1 + 2xy$
Поскольку x > 0, y > 0, то 2xy > 0, а 1 + 2xy > 1. Значит, и $(x+y)^{2} \ \textgreater \ 1$
Поскольку x + y > 0, то из последнего неравенства следует неравенство x + y  > 1, что и требовалось доказать.

Последние два неравенства неверные. Сначала заметим, что из неравенства $|x| \ \textless \ 1, |y| \ \textless \ 1$, следует, что 0 <x < 1, 0 < y < 1
Можно доказать, что куб таких чисел меньше квадрата, в третьем же неравенстве наоборот всё.
Аналогично, куб числа от 0 до единицы всегда меньше самого числа. Эти утверждения очевидны. Поэтому неравенства 3 и 4 неверны. Выбрать какой-то один вариант тут не получится.