Question

При каких значения параметра a неравенство верно для всех x: ?

Answer 1

$\dfrac{8 x^{2} -20x+16}{4 x^{2} +10x+7} \leq a$

рассмотрим знаменатель
$4 x^{2} +10x+7=0\\D\ \textless \ 0$
нет корней, вестви вверх, значит знаменатель принимает только положительные значения

умножим на знаменатель обе части неравества (знак не меняется, т.к. знаменатель при любом икс - положительное число)

$8x^2-20x+16 \leq a\cdot(4 x^{2} +10x+7)\\\\4x^2\cdot(2-a)-10x\cdot(2-a)+(16-7a) \leq 0$
1) если а=2
$4x^2\cdot(2-2)-10x\cdot(2-2)+(16-7\cdot 2) \leq 0\\16-14 \leq 0\\2 \leq 0$
неверное равенство
2) если а≠2
имеем квадратное неравенство
2.1) если а<2, ветви паарболы вверх (т.к. коэффициент при х^2 будет положительный), поэтому неравенство ≤0 не будет выполняться при всех икс
2.2) если а>2, то ветви параболы вниз. Неравенство выполняется если парабола расположена не выше оси ОХ
это выполняется при всех икс если D≤0
$4x^2\cdot(2-a)-10x\cdot(2-a)+(16-7a) \leq 0\\\\D=100(2-a)^2-16(2-a)(16-7a)=-12a^2+80a-112\\\\-12a^2+80a-112 \leq 0\\\\-12(a-2)(a- \frac{14}{3} ) \leq 0\\\\(a-2)(a- \frac{14}{3} ) \geq 0\\\\a\in[-\infty;2]\cup[ \frac{14}{3} ;+\infty)$
значит a≥14/3

ЗЫ: в расчетах может быть опечатка