Question

Sin(2x-7п/2)+sin(3п/2-8x)+cos6x=1 решить уравнение

Answer 1

$\sin(2x- \frac{7\pi}{2})+\sin( \frac{3 \pi }{2} -8x)+\cos6x=1\\ \cos 2x-\cos8x+\cos6x=1\\ \cos2x-2\cos^24x+1+2\cos^23x-1=1\\ 2\cos^2x-1-2((2\cos^22x-1)^2)^2+2(4\cos^3x-3\cos x)^2=1\\ 2\cos^2x-1-2((2(2\cos^2x-1)^2-1)^2+2(4\cos^3x-3\cos x)^2=1\\$
 Пусть $\cos x = t\,(|t| \leq 1)$, тогда получаем
$2t^2-2(2(2t^2-1)^2-1)^2+2(4t^3-3t)^2-1=1$
$2t^2-2(8t^4-8t^2+1)^2+2(4t^3-3t^2)-2=0\\ 2t^2-2(64t^8-128t^6+80t^4-16t^2+1)+2(16t^6-24t^4+9t^2)-2=0\\ 2t^2-128t^8+256t^6-160t^4+32t^2-2+32t^6-48t^4+18t^2-2=0\\128t^8-288t^2+208t^4-52t^2+4=0|:4\\ 32t^8-72t^6+52t^4-13t^2+1=0$
Пусть $t^2=z\,(z \geq 0)$, тогда получаем
$32z^4-72z^3+52z^2-13z+1=0\\ (32z^4-72z^3+1)+(52z^2-13z)=0\\ (4z-1)(8z^3-16z^2-4z-1)+13z(4z-1)=0\\ (4z-1)(8z^3-16z^2+9z-1)=0\\ z_1= \frac{1}{4} \\ 8z^3-16z^2+9z-1=0$
 Разложим на множители
$8z^3-8z^2-8z^2+8z+z-1=0\\ 8z^2(z-1)-8z(z-1)+(z-1)=0\\ (z-1)(8z^2-8z+1)=0\\ z_2=1\\ 8z^2-8z+1=0$
Находим дискриминант
$D=b^2-4ac=(-8)^2-4\cdot8\cdot1=32;\,\, \sqrt{D} =4 \sqrt{2} \\ z_3_,_4= \frac{2- \sqrt{2} }{4}$

Возвращаемся к замене от z

$t^2=\frac{1}{4}\\ t=\pm\frac{1}{2}\\ \\ t^2=1\\ t=\pm1\\ \\ t^2= \frac{2- \sqrt{2} }{4}\\ t=\pm \frac{\sqrt{2- \sqrt{2}} }{2}$

Возвращаемся к замене от t
$\cos x=1\\ x=2 \pi n,n \in Z\\\\ \cos x=-1\\ x= \pi +2 \pi n,n \in Z\\\\ \cos x=-0.5\\ x=\pm \frac{2 \pi }{3} +2 \pi n,n \in Z\\ \\ \cos x=0.5\\ x=\pm \frac{\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z \\ \\ \cos x = \frac{\sqrt{2- \sqrt{2}} }{2}\\ x=\pm \arccos(\frac{\sqrt{2- \sqrt{2}} }{2})+2 \pi n,n \in Z$
$\\ \cos x=-\frac{\sqrt{2- \sqrt{2}} }{2}\\ x=\pm \arccos(-\frac{\sqrt{2- \sqrt{2}} }{2})+2 \pi n,n \in Z$