Question

Найдите расстояние от точки м с (2; -4; 1) до точки пересечения прямой (х-2)/3=(у+1)/4=z/-3 и плоскости 5х-2у+z-3=0

Answer 1

Найдем точки пересечения прямой и плоскости
$\frac{x-2}{3}= \frac{y+1}{4}= \frac{z}{-3}$
Где $\overline{(3;4;-3)}$ - направляющий вектор
Запишем уравнение прямой в параметрическом виде
$\begin{cases} & \text{ } x=x_0+tm \\ & \text{ } y=y_0+tn \\ & \text{ } z=z_0+tp \end{cases}$
Где x0, y0, z0 - координаты данной прямой, в нашем случае x0=2, y0=-1, z0=0. m,n,p - координаты направляющего вектора
$\begin{cases} & \text{ } x=3t+2 \\ & \text{ } y=4t-1 \\ & \text{ } z=-3t \end{cases}$
Подставляем в уравнение плоскости
$5(3t+2)-2(4t-1)-3t-3=0\\ 15t+10-8t+2-3t-3=0\\ 4t+9=0\\ t=-2.25$
Находим точку пересечения прямой и плоскости
$x=3\cdot(-2.25)+2=-4.75$
$y=4\cdot(-2.25)-1=-10$
$z=3\cdot(-2.25)=-6.25$

Находим расстояние от точки (2;-4;1) до точки пересечения (-4.75;-10;-6.25)
$d \approx 10.2$