Question

Доказать,что выражение 7*5^2n+12 *6^n делится нацело на 19

Answer 1

$7*5^{2n}+12*6^{n} = 7*25^{n}+ 12*6^n$.
Докажем методом мат. индукции.
При n = 1 имеем:
$7*25+12*6 = 247 = 19*13$,
т.е. при n = 1 высказывание верно.
Предполагая верность высказывания при некотором натуральном n = k, докажем верность высказывания при n = k+1. Т.е. пусть $7*25^{k}+12*6^k$ делится на 19.
Докажем, что $7*25^{k+1}+12*6^{k+1}$ также делится на 19. В самом деле, $7*25^{k+1}+12*6^{k+1} =$$25*7*25^{k}+ 6*12*6^k = 19*7*25^{k}+6*7*25^k+6*12*6^k$$=19*7*25^k+6*(7*25^k+12*6^k)$.
Первое слагаемое, очевидно, делится на 19. Второе слагаемое также делится на 19 в силу исходного предположения о делимости на 19 числа $7*25^{k}+12*6^k$. Значит вся сумма делится на 19.
Таким образом, на основании метода математической индукции, заключаем, что высказывание верно для любого натурального n.