Question

Из круглого бревна диаметра d надо вырезать прямоугольного сечения.каковы должны быть ширина и высота этого сечения чтобы оказывала наибольшее сопротивление на изгиб? (сопротивление на изгиб пропорционально произведению ширины ее поперечного сечения на квадрат ее высоты: q=kxy^2 k=const)

Answer 1

По физическим соображениям понятно, что k > 0 - толстую балку явно сложнее согнуть, чем тонкую. Начиная с этого момента будем считать, что k = 1 (физики скажут, что мы выбрали такую систему координат, в которой k безразмерно и равно 1) - это явно никак не влияет на положение максимума.

Можно считать, что сечение сделано так, как будто прямоугольник со сторонами x, y вписан в окружность диаметра d (Почему это верно: пусть всё не так, и, например, x при фиксированном y можно увеличить. Тогда увеличим - и q тоже увеличится, чего не может быть, если достигнут максимум.)

Если прямоугольник вписан, то его диагональ - диаметр окружности. По теореме Пифагора  x^2 + y^2 = d^2, откуда y^2 = d^2 - x^2. Подставляем это в формулу и получаем такую формулировку задачи:
Найти максимальное значение функции q(x) = x(d^2 - x^2) на отрезке [0, d].

Берем производную:
q'(x0) = (x0 * d^2 - x0^3)' = d^2 - 3x0^2

Присваиваем производную к нулю и решаем получившееся уравнение (учтя, что x > 0):
d^2 - 3x0^2 = 0
x0^2 = d^2 / 3
$x_0=\dfrac{d}{\sqrt3}=\dfrac{d\sqrt3}3$

Найденная точка - точка максимума (хотя бы потому, что q' > 0 при 0 < x < x0 и q' < 0 при x > x0). Поэтому можно сразу писать ответ.

ответ. $(x,y)=\left(\dfrac {d\sqrt3}{3},\dfrac{d\sqrt6}{3}\right)$