Хорошо, давайте составим квадратный трехчлен, корнями которого являются числа -8 и 7.
Квадратный трехчлен имеет общий вид ax^2 + bx + c, где a, b и c - коэффициенты.
Нам дано, что -8 и 7 являются корнями трехчлена. Это означает, что если подставить эти значения вместо x, то получим ноль.
Таким образом, мы можем записать два уравнения:
(-8)^2a + (-8)b + c = 0,
(7)^2a + (7)b + c = 0.
Давайте пошагово найдем значения коэффициентов a, b и c.
1. Подставим значения (-8) в первое уравнение:
(-8)^2a + (-8)b + c = 0,
64a - 8b + c = 0. (Уравнение 1)
2. Подставим значения 7 во второе уравнение:
(7)^2a + (7)b + c = 0,
49a + 7b + c = 0. (Уравнение 2)
3. Теперь у нас есть два уравнения с тремя неизвестными. Мы можем решить систему из двух уравнений, чтобы найти значения a, b и c.
Используя метод исключения, вычтем уравнение 2 из уравнения 1:
(64a - 8b + c) - (49a + 7b + c) = 0,
64a - 49a - 8b - 7b + c - c = 0,
15a - 15b = 0,
15(a - b) = 0.
Теперь у нас есть уравнение 15(a - b) = 0.
Это может быть верно только в двух случаях: a - b = 0 или 15 = 0.
4. Рассмотрим первый случай: a - b = 0. Это означает, что a = b. Давайте заменим b на a в одном из уравнений:
64a - 8a + c = 0,
56a + c = 0. (Уравнение 3)
5. Теперь мы имеем два уравнения: 56a + c = 0 (Уравнение 3) и 49a + 7b + c = 0 (Уравнение 2). Мы можем использовать второе уравнение, чтобы выразить одну из переменных через другую.
Вычтем уравнение 3 из уравнения 2:
(49a + 7b + c) - (56a + c) = 0,
49a - 56a + 7b - c - c = 0,
-7a + 7b - 2c = 0,
7(b - a) = 2c.
6. Поскольку у нас два разных уравнения для 7(b - a) и 15(a - b), мы можем приравнять их друг к другу:
7(b - a) = 2c,
15(a - b) = 7(b - a).
Таким образом, мы имеем систему уравнений:
7(b - a) = 2c,
15(a - b) = 7(b - a).
7. Решим эту систему. Домножим второе уравнение на (-7):
7(b - a) = 2c,
-105(a - b) = -49(b - a).
9. Теперь у нас есть уравнение -14a = 51b + 2c. Мы хотим найти a, b и c, поэтому давайте выразим a через b и c.
-14a = 51b + 2c,
a = (51b + 2c)/(-14).
Таким образом, мы получили выражение для a через b и c.
10. Теперь, вернемся к уравнению 56a + c = 0. Подставим выражение для a из предыдущего шага:
56((51b + 2c)/(-14)) + c = 0.
Домножим оба выражения на (-14), чтобы избавиться от знаменателя:
56(51b + 2c) - 14c = 0,
2856b + 112c - 14c = 0,
2856b + 98c = 0.
11. Теперь мы получили выражение для b через c: b = (-98c)/2856.
12. Мы можем выбрать любое значение c и найти соответствующие значения a и b с помощью выражений, полученных на предыдущих шагах. Например, если мы возьмем c = 2856, то получим:
b = (-98(2856))/2856 = -98,
a = (51(-98) + 2(2856))/(-14) = (-4998)/(-14) = 357.
13. Таким образом, мы получили значения a = 357, b = -98 и c = 2856, которые являются коэффициентами квадратного трехчлена, корнями которого являются числа -8 и 7.
Итак, квадратный трехчлен с корнями -8 и 7 будет иметь вид 357x^2 - 98x + 2856.
