Заметим, что в условии не сказано, что все числа разные. Будем считать, что числа записаны в порядке возрастания:
Условие, что сумма любых пяти из них не меньше 117, равносильно тому, что сумма наименьших пяти не меньше 117:
Чтобы сделать сумму всех чисел как можно меньше, надо сделать 
как можно меньше и взять все числа с большими номерами равными . Чтобы упростить рассуждение, приведу нужный набор чисел и докажу, что любой другой даст большую сумму:
Сумма первых пяти чисел равна 117, сумма всех равна 477. Сумма первых пяти тем самым минимально возможная, поэтому попытка сделать сумму всех чисел меньше приводит к тому, что 
должен стать меньше, чем 24, а тогда и пятый член окажется меньше 24, а тогда сумма первых пяти окажется не больше, чем 
.
ответ: 477
можно составить таблицу значений.
x 0 -3 -1 -2 -4 -5 -6
y 9 0 4 1 1 4 9
Получится так.
возрастает: (-3; +бесконечности)
убывает: (-бесконечности; -3)