Question

Найдите область определения выражения корень из x2 +16x+64/x2-49

Answer 1

$\dfrac{\sqrt{x^2+16x+64}}{x^2-49}=\dfrac{\sqrt{(x+8)^2}}{x^2-49}=\dfrac{|x+8|}{(x-7)(x+7)}$

Выражение существует, когда знаменатель дроби не обращается к нулю

$(x-7)(x+7)\ne 0\\ x_1\ne 7\\ x_2\ne -7$

Область определения выражения: $x \in (-\infty;-7)\cup(-7;7)\cup(7;+\infty).$

Если в условии все выражение под корнем, то...

$\sqrt{\dfrac{x^2+16x+64}{x^2-49}}=\sqrt{\dfrac{(x+8)^2}{x^2-49}}=\dfrac{|x+8|}{\sqrt{x^2-49}}$

Выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно и знаменатель дроби не обращается к нулю.

$\displaystyle \left \{ {{x^2-49\geq0} \atop {x^2-49\ne 0}} \right. ~~\Rightarrow~~~ x^2-490~~\Rightarrow~~ |x|7~\Rightarrow~\left[\begin{array}{ccc}x7\\ \\ x$

При $x \in (-\infty;-7)\cup (7;+\infty)$ выражение имеет смысл