найти промежутки монотонности функции y=2x³-9x²+12x-5 Решение: Для определения промежутков монотонности(возрастания, убывания) функции найдем производную функции и ее знаки на всей области определения функции. Найдем производную функции у' = (2x³-9x²+12x-5)' =(2x³)'-(9x²)' + (12x)'- (5)' =2*3x²-9*2x+12 - 0 = 6x²-18x+12 Найдем критические точки в которых производная равна нулю решив уравнение y'=0 <=> 6x²-18x+12 =0 x²-3x+2=0 D =9- 2*4= 9-8=1 x1=(3-1)/2=1 x2=(3+1)/2=2 На числовой прямой отобразим эти точки в которых производная равна нулю а также знаки первой производной определенные по методу подстановки. Например при х=0 значение производной равно x²-3x+2 = 2 > 0 + 0 - 0 + !! 1 2 Производная больше нуля при х∈(-∞;1)U(2;+∞) Производная больше нуля при х∈(1;2)
Функция возрастает при х∈(-∞;1)U(2;+∞) Функция убывает при х∈(1;2)
Sin2x=2sinx*cosx=-0.6 sinx*cosx=-0.3 sinx= -0.3/cosx; sin^2x=0.09/cos^2x теперь подставлю его выражение в основное тригонометрическое тождество sin^2x+cos^2x=1 получу .0.09/cos^2x+cos^2x=1 введу новую переменную t=cox^2x тогда 0.09/t+t=1 приводя все к общему знаменателю-в числителе получу 0.09+t^2=t t^2-t+0.09=0 D=1-4*0.09=1-0.36=0.64 t1=(1+0.8)/2=0.9 t2=(1-0.8)/2=0.1 сos^2x=0.9; cosx1=-3/√10; cos^2x=0.1; cosx2=-1/√10 sinx1=-0.3/cosx; sinx=-0.3/(-3/√10)=1/√10 sinx2=-0.3/(-1/√10)=0.3*√10 tgx1=sinx1/cosx1=(1/√10)/(-3/√10)=-1/3; ctgx1=-3 tgx2=sinx2/cosx2=0.3*√10/(-1/√10)=-3; ctgx2=-1/3
1. Исследуйте функцию и постройте ее график y=x^3 - 3x^2 + 4 2. Найдите наибольшее и наименьшее значении функции на данном промежутке: f(x)=(x+1)^2 (x-1) [-2;0] .
y= x³ - 3x² + 4 1.Область определения функции D(f) = (-∞; ∞). 2. Определяем точки пересечения графики функции с координатными осями a) c осью абсцисс : y =0 ⇒ x³ - 3x² + 4 =0 , x = -1 корень (x³+x²) - (4x²+4x) +(4x+4) = 0 ; x²(x+1) -4x(x +1) +4(x +1) =0 ⇔(x+1)(x² - 4x+4) =0⇔(x+1)(x-2)² =0→ A(-1 ;0) ; B(2 ;0). b) с осью ординат: x =0 ⇒ y = 4 → C(0 ;4). 3.Определяем интервалы монотонности функции Функция возрастает (↑), если у ' >0, убывает(↓) , если у ' < 0. y ' =3x² -6x =3x(x-2) ; y ' + - + 0 2 y ↑ max ↓ min ↑
x =0 точка максимума _ мах (у) = 4 x =2 точка минимума _ min (у) = 2³ -3*2² +4 =0 Функция возрастает , если x ∈(-∞ ; 0) и x ∈(2 ;∞ ), убывает ,если x ∈ (0 ;2 ). --- 4) определим точки перегиба , интервалы выпуклости и вогнутости y '' = (y ') ' =(3x² -6x) ' = 6x -6=6(x -1). y '' =0 ⇒ x=1 (единственная точка перегиба) График функции выпуклая , если y ''< 0 , т.е. если x < 1 вогнутая, если y '' >0 ⇔ x > 1
5. Lim y → - ∞ ; Lim y → ∞ x→ - ∞ x→ ∞ * * * * * * * * * 2. Найдите наибольшее и наименьшее значении функции на данном промежутке: f(x)=(x+1)^2 (x-1) [-2;0]
f(x)=(x+1)² (x-1) f ' (x) =2(x+1)(x -1)+(x+1)² =(x+1)(2x-2+x+1) =3(x+1)(x -1/3) f'(x) + - + (-1) (1/3) (1/3) ∉ [-2 ;0] f(x) ↑ max ↓ min ↑
Решение:
Для определения промежутков монотонности(возрастания, убывания) функции найдем производную функции и ее знаки на всей области определения функции.
Найдем производную функции
у' = (2x³-9x²+12x-5)' =(2x³)'-(9x²)' + (12x)'- (5)' =2*3x²-9*2x+12 - 0 = 6x²-18x+12
Найдем критические точки в которых производная равна нулю решив уравнение
y'=0 <=> 6x²-18x+12 =0
x²-3x+2=0
D =9- 2*4= 9-8=1
x1=(3-1)/2=1 x2=(3+1)/2=2
На числовой прямой отобразим эти точки в которых производная равна нулю а также знаки первой производной определенные по методу подстановки.
Например при х=0 значение производной равно x²-3x+2 = 2 > 0
+ 0 - 0 +
!!
1 2
Производная больше нуля при х∈(-∞;1)U(2;+∞)
Производная больше нуля при х∈(1;2)
Функция возрастает при х∈(-∞;1)U(2;+∞)
Функция убывает при х∈(1;2)