ответ:Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные (иногда натуральные или рациональные) наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми, в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Современной постановкой диофантовых задач мы обязаны французскому математику Ферма. Именно он поставил перед европейскими математиками во о решении неопределённых уравнений только в целых числах. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
xn + yn = zn
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
Теоретический интерес к уравнениям в целых числах достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны со многими проблемами теории чисел.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович Матиясевич доказал, что общего позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения, не существует и быть не может. Поэтому следует для разных типов уравнений выбирать собственные методы решения.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие методы перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
представление чисел в виде непрерывных (цепных) дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных (или иных) относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска.
Объяснение:
1. Разделим 2 на 1
x^2*y^(-2)=4
(x/y)^2 =4
2. Умножим 1 на 2
(x*y)^12 = 128*32 = 2^12
(x*y)^2 = 4
Введём новые переменные
u = x^2 v = y^2, получим систему
u*v = 4
u/v = 4, u = 4*v. подставим в 1
4*v*v =4
v^2 = 1
v1=1 v2=-1
u1=4*v1=4 u2=4*v2=-4
Вот и всё. Осталось перейти к переменным x и у
y1^2 = 1 y2^2 = -1
y11 = 1 y12=-1 y21 = i y22 =-i
x1^2 = 4 x2^2 = -4
x11 = 2 x12 = -2 x21 = 2i x22=-2i
Теперь, чтобы выписать правильные решения, заметим, что х и у должны иметь ОДИНАКОВЫЕ знаки(это напрямую следует, например, из 1 уравнения исходной системы. Подумай, почему).
Поэтому из всех возможных комбинаций х и у выбираем пары с одинаковыми знаками.
ответ (2;1)
(-2;-1)
(2i;i)
(-2i;-i)
Замечание1 В задании не сказано, в области каких чисел решать, решил в области комплексных чисел, если нужно в области действительных, то, конечно, комплексные корни можно отбросить.
Замечание2 Можно и не вводить переменные u v, однако, как мне кажется, так проще, хоть немного и длиннее
Ну, вроде всё.
Успехов!
