a = 6, b = - 24, c = 21
Объяснение:
a > 0 следовательно "рога" параболы смотрят вверх.
Предположим, что в точке x = 2 находится её минимум, (тогда это значение -3) а в точках x = 1 и 3 - значение функции равно 3.
f(1) = 3
f(2) = -3
f(3) = 3
Подставляем и составляем систему уравнений:
a * 1 ^ 2 + b * 1 + c = 3 (1 уравнение)
a * 2 ^ 2 + b * 2 + c = -3 (2 уравнение)
a * 3 ^ 2 + b * 3 + c = 3 (3 уравнение)
Решаем:
Из 3 уравнения вычитаем 1 уравнение:
9a + 3b + c - a - b - c = 3 - 3
8a + 2b = 0
a = b / 4 (1 упрощение)
Из 2 уравнения вычитаем 1 уравнение:
4a + 2b + c - a - b - c = -3 - 3
3a - b = -6 (2 упрощение)
Решаем систему из 1 и 2 упрощения:
a = b / 4
3a - b = -6
Во второе упрощение подставляем a из первого:
3 (b / 4) -b = -6
3b / 4 - b = -6
3b / 4 - 4b / 4 = -6
(3b - 4b) / 4 = -6
-1b / 4 = -6
-b = -24
b = 24
Подставялем в 1 упрощение:
a = 24 / 4
a = 6
Подставляем a и b в 1 уравнение:
a + b + c = 3
6 - 24 + c = 3
c = 3 - 6 + 24
c = 21
Функция имеет вид f(x) = 6x^2 - 24x + 21, проверить можно подставив вместо х значения 1, 2 и 3 и получить соответственно 3, -3, 3. Что удовлетворяет условию равенства по модулю.
(4; -20; 20); (4; -12; 4)
Объяснение:
|f(1)| = |a*1^2+b*1+c| = |a+b+c| = 4
Это значит два варианта:
a+b+c = -4
a+b+c = 4
|f(2)| = |a*2^2+b*2+c| = |4a+2b+c| = 4
Это опять два варианта:
4a+2b+c = -4
4a+2b+c = 4
|f(3)| = |a*3^2+b*3+c| = |9a+3b+c| = 4
И тут два варианта:
9a+3b+c = -4
9a+3b+c = 4
Квадратная функция не может иметь одинаковое значение в 3 точках.
Поэтому варианты (-4;-4;-4) и (4;4;4) сразу отпадают.
И помним, что а > 0, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Если вершина между 2 и 3, и в них обоих значение -4, то в 1 должно быть 4.
{ a+b+c = 4
{ 4a+2b+c = -4
{ 9a+3b+c = -4
Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -9 и складываем с 3 уравнением.
{ a+b+c = 4
{ 0a-2b-3c = -20
{ 0a-6b-8c = -40
Умножаем 2 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.
{ a+b+c = 4
{ 0a-2b-3c = -20
{ 0a+0b+c = 20
Получили с = 20. Подставляем во 2 уравнени.
-2b - 3*20 = -20; -2b = 40; b = -20
Подставляем в 1 уравнение
a - 20 + 20 = 4; a = 4
Решение: (4; -20; 20)
Если вершина между 2 и 3, и в них обоих 4, то в 1 должно быть больше 4. Не подходит.
Если вершина между 1 и 2, и в них обоих 4, то в 3 должно быть больше 4. Не подходит.
Если вершина между 1 и 2, и в них значение -4, то в точке 3 должно быть 4.
{ a+b+c = -4
{ 4a+2b+c = -4
{ 9a+3b+c = 4
Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем со 2 уравнением.
Умножаем 1 уравнение на -9 и складываем с 3 уравнением.
{ a+b+c = -4
{ 0a-2b-3c = 12
{ 0a-6b-8c = 40
Умножаем 2 уравнение на -3 и складываем с 3 уравнением.
{ a+b+c=-4
{ 0a-2b-3c = 12
{ 0a+0b+c = 4
Получили с = 4. Подставляем во 2 уравнение
-2b - 3*4 = 12; -2b = 24; b = -12
Подставляем в 1 уравнение
a - 12 + 4 = -4; a = 12 - 4 - 4 = 4
Решение: (4; -12; 4)
Тогда весь пример такой: