Question

С! нужно найти точку минимума функции, и если можно, с подробным решением. заранее

Answer 1

Найдем производную:
$y'= (\frac{4}{3}x \sqrt{x}-2x+16)'= (\frac{4}{3} x^{ \frac{3}{2} }-2x+16)'= \frac{4}{3} \frac{3}{2} x^{ \frac{1}{2} } - 2=2 \sqrt{x} -2$
найдем все x в которых производная равна нулю (экстремумы):
$2 \sqrt{x} -2=0\\ 2 \sqrt{x} =2\\ \sqrt{x} =1\\ x=1$
осталось определить какие из них являются минимумами:
точка у нас всего одна x = 1, найдем знак производной ДО и ПОСЛЕ нее, т. е. на отрезках (-∞; 1) и (1; ∞)
для этого возьмем произвольную точку каждого отрезка и подставим в производную:
для первого возьмем x = 0: $2 \sqrt{0} -2\ \textless \ 0$
для второго x = 2: $2 \sqrt{2} -2 = \sqrt{8} - \sqrt{4} \ \textgreater \ 0$

итак, до точки x = 1 производная отрицательна, это означает что функция убывала, после точки производная положительна, значит функция начала возрастать, а раз так, значит x = 1 есть точка минимума