Объяснение:
S=cosacosbcosy
Так как a,b,y-углы треугольника, то 0<a,b,y<π; a+b+y=π и не острым углом может оказаться не более чем один из них.
Если один из данных углов не острый, то его косинус число не положительное и cosa·cosb·cosy≤0<1/8
Пусть 0<a,b,y<π/2
Используя неравенство Коши(теорема о средних, неравенство между ср. геометр. и ср. арифм.) имеем
![\sqrt[3]{cosacosbcosy}\leq \frac{cosa+cosb+cosy}{3}](/tpl/images/2010/3671/1141d.png)
Рассмотрим функцию f(x)=cosx. При x∈(0, π/2) функция выпукла вверх.
Значит по теореме Йенсена
Или
Равенство выполняется при при a=b=y=π/3
a+b+y=π⇒a=π-(b+y)⇒cosa=cos(π-(b+y))=-cos(b+y)
cos(b+y)=-cosa, Формулы приведения
cosb·cosy=0,5(cos(b+y)+cos(b-y)). Формула преобразования произведения в сумму
x∈(-π/2, π/2)⇒0<cosx<1. Свойство косинуса
b, y∈(0, π/2)⇒b-y∈(-π/2, π/2)⇒0<cos(b-y)≤1
(cosa-0,5)²≥0⇒-0,5(cosa-0,5)²≤0⇒-0,5(cosa-0,5)²+0,125≤0,125
cosacosbcosy=cosa·0,5·(cos(b+y)+cos(b-y))=0,5cosa(-cosa+cos(b-y))=-0,5cos²a+0,5cosa·cos(b-y)≤-0,5cos²a+0,5cosa=-0,5(cos²a-cosa+0,25)+0,125=-0,5(cosa-0,5)²+0,125≤0,125
Не острые углы рассмотрены в пункте 1
Первый .
Так как, по условию, ВР биссектриса угла АВС, то угол РВС = АВС / 2 = 60 / 2 = 300.
В прямоугольном треугольнике СВР определим длину катета ВС.
ВС = ВР * Cos300 = 5 * √3 / 2 cм.
Из прямоугольного треугольника АВС определим длину катета АС.
tgABC = AC / BC.
AC = tgABC * BC = tg60 * 5 * √3 / 2 = √3 * 5 * √3 / 2 = 7,5 см.
Второй .
Так как, по условию, ВР биссектриса угла АВС, то угол РВС = АВС / 2 = 60 / 2 = 300.
Угол ВСА = 180 – 90 – 60 = 300, тогда треугольник ВРА равнобедренный и АР = ВР = 5 см.
В прямоугольном треугольнике ВСР катет СР лежит против угла 300, а следовательно, равен половине длины гипотенузы ВР. СР = ВР / 2 = 5 / 2 = 2,5 см.
Тогда АС = СР + АР = 2,5 + 5 = 7,5 см.
ответ: Длина АС равна 7,5 см.