Question

Вычислите площадь плоской фигуры ограниченной графиками функций 1) у= х+1 и у=(х+1) в кубе 2) у=х в кубе и у=2х - х в кубе

Answer 1

1) $x+1=(x+1)^{3}$
$(x+1)(1-(x+1)^{2})=0$
$x_{1}=-1$
$1-(x+1)^{2}=0$
$(x+1)^{2}=1$
$x+1=1$
$x_{2}=0$
$x+1=-1$
$x_{3}=-2$

$S_{1}= \int\limits^{-1}_{-2} {((x+1)^{3}-(x+1))} \, dx=\int\limits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+3x+1-x-1)} \, dx=\int\limits^{-1}_{-2} {(x^{3}+3x^{2}+2x)} \, dx= \frac{x^{4}}{4}+x^{3}+x^{2}|^{-1}_{-2}= \frac{1}{4}-1+1-(4-8+4)=\frac{1}{4}$

$S_{2}= \int\limits^{0}_{-1} {(x+1-(x+1)^{3})} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(x+1-(x^{3}+3x^{2}+3x+1)} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(x+1-x^{3}-3x^{2}-3x-1)} \, dx=\int\limits^{0}_{-1} {(-2x-x^{3}-3x^{2})} \, dx=-x^{2}- \frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=$$-x^{2}- \frac{x^{4}}{4}-x^{3}|^{0}_{-1}=0-(-1-\frac{1}{4}+1)=\frac{1}{4}$

$S=S_{1}+S_{2}=2*\frac{1}{4}=\frac{1}{2}=0.5$ - ответ

2) $x^{3}=2x-x^{3}$
$2x^{3}-2x=0$
$2x*(x^{2}-1)=0$
$x_{1}=0$
$x_{2}=1$
$x_{3}=-1$

$S=2* \int\limits^{1}_{0} {(2x-x^{3}-x^{3})} \, dx =2* \int\limits^{1}_{0} {(2x-2x^{3})} \, dx=4*( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=$$4*( \frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{4})|^{1}_{0}=4*(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=4*\frac{1}{4}=1$ - ответ