Question

Решить уравнение: 2arcsin x=arccos с объяснением..

Answer 1

$2\arcsin(x)=\arccos(3x)$

Для начала разберемся какому промежутку будет принадлежать корень уравнения.

$y=\arcsin(x)=x\in\bigg[-1;1\bigg]\\y=\arccos(3x)\\-1\leq3x\leq 1=x\in\bigg[-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\bigg]$

Объедения промежутки получаем, что

$x\in\bigg[-\frac{1}{3};\frac{1}{3}\bigg]$

Теперь приступим к решению

$2\arcsin(x)=\arccos(3x)\\2\arcsin(x)-\arccos(3x)=0\\\cos(2\arcsin(x)-\arccos(3x))=\cos(0)\\\cos(\arccos(3x)-2\arcsin(x))=1\\\cos(\arccos(3x))\cos(-2\arcsin(x))-\sin(\arccos(3x)\sin(-2\arcsin(x))=1\\\\\cos(\arccos(3x))=3x\\\cos(-2\arcsin(x))=1-2\sin^2(\arcsin(x))=1-2x^2\\\sin(\arccos(3x))=\sqrt{1-cos^2(\arccos(3x))}=\sqrt{1-9x^2}\\\sin(-2\arcsin(x))=2\sin(-\arcsin(x)\cos(\arcsin(x))=-2x\sqrt{1-x^2}\\\\3x(1-2x^2)+2x\sqrt{1-9x^2}\sqrt{1-x^2}=1\\\left(2x\sqrt{(1-9x^2)(1-x^2)}\right)^2=(1-3x+6x^3)^2$

$4x^2(1-9x^2)(1-x^2)=(1-3x+6x^3)(1-3x+6x^3)\\36x^6-40x^4+4x^2=(1-3x+6x^3+9x-18x^4-6x^3-18x^4+36x^6)\\36x^6-40x^4+4x^2=36x^4-36x^4+12x^3+9x^2-6x+1\\4x^4+12x^3+5x^2-6x+1=0\\4x^4+(6x^3+6x^3)+(9x^2-4x^2)+(-3x-3x)+1=0\\2x^2(2x^2+3x-1)+3x(2x^2+3x-1)-(2x^2+3x-1)=0\\(2x^2+3x-1)(2x^2+3x-1)=0\\(2x^2+3x-1)^2=0\\2x^2+3x-1=0\\D=9-4*2*(-1)=17\\x_{1,2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$

Осталось проверить принадлежать ли найденные корни найденному ранее промежутку. Получаем:

$x=\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$