Question

Остаток от деления числа a на 17 равен 4. найдите остаток от деления на 17 числа 7a-a^2. проверьте результат при: а)a=4 б)a=21

Answer 1

Из первого предложения имеем $a = 17k + 4, k \in \mathbb{Z} (1)$ по теореме о делении с остатком. (Вспомни, что такое частное, неполное частное, остаток...).
Обозначив искомый остаток через $x$ второе предложение по той же теореме запишется так: 
$7a - a^2 = 17m + x, m \in \mathbb{Z} (2)$
Воспользуемся (1):
$7a- a^2 = a \cdot (7-a) = (17k+4) \cdot (7-17k - 4) = (17k+4)$
$\cdot (3 - 17k) = 17 \cdot 3k + 12 - 17 \cdot 17k^2 - 17 \cdot 4k = 17 \cdot ( \dots ) + 12.$
Совмещая этот результат с (2), видим, что m - это то, что осталось в скобках, а $x = 12$.
ответ: 12