Question

Найдите все натуральные числа, разность квадратов которых равна 455.

Answer 1

Разложите 455 на простые множители.
455 = 5 * 7 * 13

a² - b² = (a+b)(a-b).

Соответственно, решение распадается на несколько систем:
a + b = 1, a - b = 5 * 7 * 13.
a + b = 5, a - b = 7 * 13.
a + b = 7, a - b = 5 * 13.
a + b = 13, a - b = 5 * 7.
a + b = 5 * 7, a - b = 13.
a + b = 5 * 13, a - b = 7.
a + b = 7 * 13, a - b = 5.
a + b = 5 * 7 * 13, a - b = 1.

Дальше надо отбросить все решения, кроме натуральных.

ответ: (24; 11), (36; 29), (48; 43), (228; 227).

Answer 2

Пусть n и m - натуральные числа,причем n больше m, тогда:
n² - m² = 455 или (n - m)(n + m) = 455
Разложим 455 на простые множители и получаем:
1×455 = 5×91 = 7×65 = 13×35 = 455
Из этого следует,что все пары натуральных чисел,разность квадратов которых равна 455, есть решение этих систем уравнений:
∫ n - m = 1      ∫ n - m = 5      ∫ n -m = 7        ∫ n - m = 13
 n + m = 455.   n + m = 91.    n + m = 65.     n + m = 35.