Question

Решите неравенство с заменой неизвестного: (x-1)(x+2)^2(x+5)> =-8

Answer 1

$(x-1)(x+2)^{2}(x+5) \geq -8$

Замена № 1: $x+2=t$
$x-1=x+2-3=t-3$
$x+5=x+2+3=t+3$

$(t-3)(t+3)t^{2}+8 \geq 0$
$t^{4}-9t^{2}+8 \geq 0$

Замена № 2: $t^{2}=m\ \textgreater \ 0$
$m^{2}-9m+8 \geq 0$
$m^{2}-9m+8=0, D=81-32=49$
$m_{1}=1$
$m_{2}=8$
$m \leq 1$ U $m \geq 8$

Вернемся к замене № 2:
$t^{2} \leq 1$ U $t^{2} \geq 8$
$-1 \leq t \leq 1$
$t \leq -2 \sqrt{2}$
$t \geq 2 \sqrt{2}$

Вернемся к замене № 1:
$-1 \leq x+2 \leq 1$
$x+2 \leq -2 \sqrt{2}$
$x+2 \geq 2 \sqrt{2}$

$x \leq -2(\sqrt{2}+1)$
$-3 \leq x \leq -1$
$x \geq 2(\sqrt{2}-1)$

ответ: x∈(-∞; -2(√2+1)]U[-3;-1]U[2(√2-1); +∞)

Answer 2

Перепишем так
(x-1)(x+5)*(x+2)^2 >= -8
(x^2 - 4x + 5)(x^2 - 4x + 4) >= -8
Замена x^2 - 4x + 5 = t
t*(t-1) >= -8
t^2 - t + 8 >= 0
D = 1 - 4*8 < 0
Корней нет. Это неравенство верно при любом t, значит, и при любом х.