Чтобы сравнить числовые выражения (√6 + √10) и (3 + √7), возведем оба выражения в квадрат.
(√6 + √10)^2 = (√6)^2 + 2√6√10 + (√10)^2 = 6 + 2√60 + 10 = 16 + 4√15;
(3 + √7)^2 = 3^2 + 2 * 3√7 + (√7)^2 = 9 + 6√7 + 7 = 16 + 6√7.
В выражениях 16 + 4√15 и 16 + 6√7 первые слагаемые равны, поэтому надо сравнить вторые слагаемые. Возведем их во вторую степень.
(4√15)^2 = 16 * 15 = 240;
(6√7)^2 = 36 * 7 = 252.
240 < 252, значит 4√15 < 6√7, поэтому (16 + 4√15) < (16 + 6√7), следовательно (√6 + √10) < (3 + √7).
Решение
Определение. Два неравенства с одной переменой f(x)>g(x) и h(x)>q(x) называются равносильными, если множества решений этих неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
(х-1)(х+2) < 0
x₁ = 1; x₂ = - 2
x∈ (- 2; 1)
х² + х < 2
x² + x - 2 < 0
x₁ = - 2
x₂ = 1
x∈ (- 2;1)
Получили что множества решений данных неравенств совпадают, т.е. общие решения у них одинаковые.
Значит данные неравенства равносильны.