Если P(x) делится на Q(x), то
P(x)/Q(x)=A(x) ,где A(x)-многочлен.
Поскольку Q(x) делится на P(x),то
Q(x)/P(x)=B(x) ,где B(x) -многочлен.
Откуда верно, что:
A(x)*B(x)=1
Если знаете комплексный анализ, то очевидно, что многочлен со степенью больше нуля имеет хотя бы один корень (комплексный или действительный),но тогда и произведение многочленов должно иметь этот корень,но многочлен C(x)=A(x)*B(x)=1 ,не может иметь корней тк 1 не равно 0.
А значит оба многочлена A(x) и B(x) имеют нулевую степень (константы),таким образом B(x)=c.(с не равно 0)
Q(x)=c*P(x)
Пусть многочлен A(x) имеет степень n ,а многочлен B(x) имеет степень m.Тогда очевидно, что многочлен A(x)*B(x) имеет степень m+n, но 1 это многочлен нулевой степени:
m+n=0
Тк m>=0 и n>=0, то m=n=0.
То есть B(x)=c (с не равно 0)
Q(x)=c*P(x) ,что и требовалось доказать.
Дано уравнение 3x⁴ + 10x³ +6x² + 10x +3 =0.
Попытаемся найти корень уравнения среди множителей свободного члена(1; -1; 3; -3). Подставив эти значения в уравнение, находим,что
х = -3 это корень уравнения.
Разделим заданное уравнение на (х + 3).
3x⁴ + 10x³ +6x² + 10x +3| x + 3
3x⁴ + 9x³ 3x³ + x² + 3x + 1
x³ + 6x²
x³ + 3x²
3x² + 10x
3x² + 9x
x + 3
x + 3
0.
Полученный результат 3x³ + x² + 3x + 1 перекомпануем:
(3x³ + 3x) + (x² + 1) = 3x(x² + 1) + (x² + 1) = (3x + 1)(x² + 1).
Таким образом, левую часть исходного уравнения можно представить в виде произведения : (x + 3)(3x + 1)(x² + 1) = 0.
Отсюда видим, что это уравнение имеет 2 очевидных корня:
х = -3 и х = -1/3. Последний множитель не может быть равен нулю.
Тогда ответ: произведение корней равно -3*(-1/3) = 1.