Question

А) решите уравнение б) найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3п/2; -5/2]

Answer 1

$cos^{2} x-cos2x=0.5$
$cos^{2} x-(2cos^{2}x-1)=0.5$
$cos^{2} x-2cos^{2}x+1=0.5$
$-cos^{2} x=0.5-1$
$cos^{2} x=0.5$
1) $cosx= \frac{ \sqrt{2}}{2}$
$x=+-\frac{ \pi }{4}+2 \pi k$, k∈Z
2) $cosx=- \frac{ \sqrt{2}}{2}$
$x=+-\frac{3 \pi }{4}+2 \pi k$, k∈Z

Объединим решения 1) и 2), получим:
$x=\frac{ \pi }{4}+\frac{ \pi k}{2}$, k∈Z

Найдем корни, принадлежащие отрезку:
$-\frac{3 \pi}{2} \leq \frac{ \pi }{4}+\frac{ \pi k}{2} \leq -\frac{\pi}{2}$
$-\frac{3}{2} \leq \frac{1}{4}+\frac{k}{2} \leq -\frac{1}{2}$
$-6 \leq 1+2k \leq -2$
$-7 \leq 2k \leq -3$
$-3.5 \leq k \leq -1.5$, k∈Z => k=-3; -2

k=-3, $x=\frac{ \pi }{4}-\frac{3 \pi}{2}=\frac{ \pi -6 \pi }{4}=-\frac{5 \pi }{4}$
k=-2, $x=\frac{ \pi }{4}-\frac{2 \pi}{2}=\frac{ \pi -4 \pi }{4}=-\frac{3 \pi }{4}$

ответ: -5П/4; -3П/4

Answer 2

(1+cos2x)/2-cos2x=1/2
1+cos2x-2cos2x=1
cos2x=0
2x=π/2+πn,n∈Z
x=π/4+πn/2
-3π/2≤π/4+πn/2≤-π/2
-6≤1+2n≤-2
-7≤2n≤-3
-3,5≤n≤-1,5
n=-3⇒x=π/4-3π/2=-5π/4
n=-2⇒x=π/4-π=-3π/4