Question

Из вершины а треугольника abc опущены перпендикуляры am и ap на биссектрисы внешних углов в и с. чему равен отрезок pm, если периметр треугольника авс равен 10? а)10; б)5; в)8; г)6.

Answer 1

Принимаем, что прямые АМ и АР, проведенные перпендикулярно биссектрисам внешних углов В и С, пересекают прямую, на которой лежит сторона ВС, в точках E и G соответственно. Из того, что высоты ВМ и СР получившихся треугольников ABE и ACG являются их биссектрисами, следует то, что треугольники ABE и ACG равнобедренные, а значит AB = BE, AC = CG, тогда сумма длин отрезков BE + ВС + CG равна периметру треугольника ABC, и EG = 10. С другой стороны, высоты ВМ и СР равнобедренных треугольников ABE и ACG — их медианы, следовательно, точки М и Р — середины отрезков АЕ и AG соответственно. Соединив точки М и Р, мы получим среднюю линию построенного треугольника AEG, исходя из свойств которой можно вычислить длину отрезка РМ = 1\2 EG = 1\2 x 10 = 5. Верный вариант: б)5.