x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) < 0
Решением этого неравенства является промежуток (1, 2)
Разложим на множители левую часть второго неравенства:
ax^2 - (3a + 1)x + 3 = (ax^2 - x) - (3ax - 3) = x(ax - 1) - 3(ax - 1) = (x - 3)(ax - 1) = a(x - 3)(x - 1/a)
Возможны 5 вариантов.
1) a > 1/3. Тогда решение неравенства – промежуток (1/a, 3). Нужно, чтобы промежуток (1, 2) полностью содержался в нём, так будет, если 1/a < 1. Объединяем с условием a > 1/3 и получаем часть ответа: a > 1.
2) a = 1/3. У второго неравенства нет решений.
3) 0 < a < 1/3. Решение неравенства – промежуток (3, 1/a); такой промежуток никогда не содержит (1, 2).
4) a = 0. Второе неравенство превращается в 3 - x < 0, x > 3. Не подходит.
5) a < 0. Решение второго неравенства – промежуток (1/a, 3), при этом 1/a < 0. Подходит.
ответ. 
I2x+1I-I5-xI-Ix+6I<0
Приравняем подмодульные функции к нулю:
2x+1=0 x=-1/2 5-x=0 x=5 x+6=0 x=-6
-∞-6-1/25+∞
-2x-1-5+x+x-6<0 -12<0 ⇒ x∉(-∞;-6)
-2x-1-5+x-x-6<0 -2x-12<0 x>-6 ⇒ x∈(-6;-1/2]
2x+1-5+x-x-6<0 2x<10 x<5 ⇒ x∈[-1/2;5)
2x+1+5-x-x-6<0 0<0 ⇒ x∉(5;+∞)
ответ: x∈(-6;5).