Пусть такое возможно и такие p и q существуют. тогда при x=+-1 Выражение целое и делится на 3. То P(1)= 1+p+q делится на 3 и P(-1)=1-p+q делится на 3. Поскольку условие должно быть выполнено для всех x. Не будем забывать что нуль тоже целое число. В нуле многочлен равен q. То есть q кратно 3. P(0)=q -целое и делится на 3 Cложем почленно: P(1)+P(-1)=2+2q . Поскольку оба выражения P(1) и P(-1) кратны 3 ,то их сумма тоже кратна 3. То 2+2q кратно 3. 2*q кратно 3 ,тк q-кратно 3. Но 2 не кратно 3. А по признаку не делимости: если одно число делится на второе,а второе нет. То все выражение не делится на это число. То есть 2+2q не кратно 3. То есть мы пришли к противоречию таких чисел p и q нет. Вообще можно доказать что можно найти p и q для постоянной делимости при любом x, только на 2 этим же А для натуральных чисел выше двух таких p и q отыскать нельзя и вы уже поняли почему . А вот для делимости на 2 такой многочлен действительно есть. x*(x+1)=x^2+x А вот для делимости на 3 нужен как минимум многочлен 3 степени: ну например x*(x+1)*(x+2) . Но это я так к слову.
