Question

Решите систему уравнений, исследовав на совместность по теореме кронекера-капелли: 2x-х+3х=-5 0+2х+х=4 х+х+х=3

Answer 1

Определение: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

$\left(\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&2&1\\1&1&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}-5\\4\\3\end{array}\right)$
упростить матрицу в ступенчатый вид.
$\left(\begin{array}{ccc}2&-1&3\\0&2&1\\1&1&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}-5\\4\\3\end{array}\right)^{(I\leftrightarrow III)}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&1\\2&-1&3\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3\\4\\-5\end{array}\right)^{(III-2\cdot I)}=\\=\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&1\\0&-3&1\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}3\\4\\-11\end{array}\right)^{(III+ \frac{3}{2}II )}=$$\left(\begin{array}{ccc}1&1&1\\0&2&1\\0&0& \frac{5}{2} \end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}-5\\4\\-5\end{array}\right)$
Ранг основной матрицы равен 3, а расширенной - 3
$3=3$, значит $r(A)= r'(A)$ система  совместна, тоесть система имеет единственное решение
$\begin{cases} & \text{ } x_1+x_2+x_3=3 \\ & \text{ } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x_2+x_3=4 \\ & \text{ } \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{5}{2} x_3=-5 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} & \text{ } x_1=2 \\ & \text{ } x_2=3 \\ & \text{ } x_3=-2 \end{cases}$

Окончательный ответ: $(2;3;-2)$