Question

Решите систему уравнений: х^2+ху=4у у^2+ху=4х

Answer 1

$\begin{cases} x^2+xy=4y \\ y^2+xy=4x \right \end{cases} \\\ \begin{cases} x^2+xy=4y \\ -y^2-xy=-4x \right \end{cases}$
Складываем уравнения:
$x^2-y^2=4y-4x \\\ (x-y)(x+y)=-4(x-y) \\\ (x-y)(x+y)+4(x-y)=0 \\\ (x-y)(x+y+4)=0$
Если первый множитель равен нулю, то:
$x-y=0 \\\ \Rightarrow x=y \\\ y^2+y\cdot y=4y \\\ 2y^2=4y \\\ y^2-2y=0 \\\ y(y-2)=0 \\\ y_1=0 \Rightarrow x_1=0 \\\ y_2=2 \Rightarrow x_2=2$
Если второй множитель равен нулю, то:
$x+y+4=0 \\\ x=-(y+4) \\\ y^2-(y+4)y=-4(y+4) \\\ y^2-y^2-4y=-4y-16 \\\ 0=-16$
Последнее равенство неверно, значит в этом случае решений нет.
ответ: (0; 0); (2; 2)

Answer 2

Допустим, так. Эквивалентная система получается путём сложения и вычитания исходных уравнений.
$\left \{ {{x^2+xy+y^2+xy=4y+4x} \atop {x^2+xy-y^2-xy=4y-4x}} \right.; \left \{ {{(x+y)^2=4(x+y)} \atop {x^2-y^2=4(y-x)}} \right.; \left \{ {{(x+y)(x+y-4)=0} \atop {(x-y)(x+y+4)=0}} \right.$ Теперь наша система разбивается на 4 подсистемы, которые в совокупности нам дают ответ
1)$\left \{ {{x+y=0} \atop {x-y=0}} \right.; 2x=0; \left \{ {{x=0} \atop {y=0}} \right.; (0;0)$
2)$\left \{ {{x+y-4=0} \atop {x-y=0}} \right.; \left \{ {{2x-4=0} \atop {y=x}} \right.; \left \{ {{x=2} \atop {y=2}} \right.; (2;2)$
3)$\left \{ {{x+y=0} \atop {x+y+4=0}} \right.$, очевидно, что система решений не имеет, так как $4 \neq 0$
4)$\left \{ {{x+y-4=0} \atop {x+y+4=0}} \right. \left \{ {{x+y=4} \atop {4+4=0}} \right. ; 8 \neq 0$, поэтому система решений не имеет. Проверяя решения (0;0) и (2;2) убеждаемся, что всё правильно.
ответ: $(0;0); (2;2)$