Question

Найдите площадь фигуры ограниченной линиями: y=x²+2,y=4-x

Answer 1

4,5 (кв. единица)

Объяснение:

Сначала определим точки пересечения функций y₁=x²+2 и y₂=4-x (см. рисунок). Для этого приравниваем функции:

y₁=y₂ ⇔ x²+2=4-x ⇔ x²+x–2=0 ⇔ (x+2)•(x–1)=0 ⇒ x1=–2, x2=1.

Фигура ограничена: сверху  прямой y₂=4-x, снизу параболой y₁= x²+2, а граница интегрирования от –2 до 1.

Площадь S фигуры вычислим с определенного интеграла:

$\tt \displaystyle S=\int\limits^ {1}_{-2} {(y_{2}-y_{1})} \, dx =\int\limits^ {1}_{-2} {(4-x-x^{2}-2)} \, dx =\int\limits^ {1}_{-2}(2-x-x^{2}) \, dx =\\\\= (2 \cdot x-\frac{x^{2}}{2} -\frac{x^{3}}{3}) \Big|^{1}_{-2}} =( 2 \cdot 1-\frac{1^{2}}{2} -\frac{1^{3}}{3})-(2 \cdot (-2)-\frac{(-2)^{2}}{2}-\frac{(-2)^{3}}{3})=\\\\= (2-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}) -(-4-2+\frac{8}{3})=2-\frac{5}{6}+6-\frac{8}{3}=8-3\frac{1}{2}=4\frac{1}{2}.$