Question

:1. 2cos(x+пи/3)= -√3 2. 2sin(x+пи/6) = -√3 3. 1/3sin x/4 = √2/6 4. cos²x - sin²x = -1 5. tg(пи+x) + 2tg x - √3=0 6. tgx/sin2x=0 7.2sin²x - 3cos x =3 8. 2sin²x+sinx -3 = 0

Answer 1

$1)~ 2\cos(x+ \frac{\pi}{3} )=-\sqrt{3}\\ \cos(x+\frac{\pi}{3} )=-\sqrt{3}/2\\ \\ x+\frac{\pi}{3} =\pm\arccos(-\sqrt{3}/2)+2\pi n,n \in Z\\ \\ x+\frac{\pi}{3} =\pm\frac{\pi}{6}+2\pi n,n \in Z\\ \\ \boxed{x=\pm\frac{\pi}{6}-\frac{\pi}{3} +2\pi n,n \in Z }$

$2)~2\sin(x+\frac{\pi}{6} )=-\sqrt{3}\\ \\ \sin(x+\frac{\pi}{6} )=-\sqrt{3}/2\\ \\ x+\frac{\pi}{6} =(-1)^k\cdot \arcsin(-\sqrt{3}/2)+\pi k,k \in Z\\ \\ x+\frac{\pi}{6} =(-1)^{k+1}\cdot \frac{\pi}{3}+\pi k,k \in Z\\ \\ \boxed{x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6} +\pi k,k \in Z }$

$3)~ \frac{1}{3} \sin \frac{x}{4} = \frac{ \sqrt{2} }{6} ~|\cdot 3\\ \\ \sin \frac{x}{4}= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \\ \frac{x}{4}=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{4} +\pi k,k \in Z~|\cdot 4\\ \\ \boxed{x=(-1)^k\cdot \pi + 4\pi k,k \in Z}$

$4)~ \cos^2x-\sin^2x=-1\\ \cos2x=-1\\2x=\pi +2 \pi n,n \in Z~|:2\\ \boxed{x= \frac{\pi}{2}+\pi n,n \in Z }$

$5)~tg(\pi +x)+2tgx-\sqrt{3}=0\\ tgx+2tgx-\sqrt{3}=0\\ 3tgx=\sqrt{3}\\ tgx= \frac{1}{\sqrt{3}} \\ x=arctg \frac{1}{\sqrt{3}}+ \pi n,n \in Z\\ \\ \boxed{x= \frac{\pi}{6}+ \pi n,n \in Z }$

$6)~ \frac{tgx}{\sin 2x}=0~~~\Rightarrow~~~~~~ \frac{\sin x}{2\sin x\cos^2x} =0~~\Rightarrow~~~ \frac{1}{2\cos^2x} =0$
Дробь обращается в нуль тогда, когда числитель равно нулю. В данном случае 1=0 а это не верно. 
ответ: уравнение решений не имеет.

$7)~2\sin^2x-3\cos x=3\\ 2(1-\cos^2x)-3\cos x-3=0\\ 2-2\cos^2x-3\cos x-3=0\\ 2\cos^2x+3\cos x+1=0$
Решим данное упрощенное уравнение как квадратное уравнение относительно $\cos x$, то есть
$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot2\cdot 1=1$

$\cos x= \dfrac{-3+1}{2\cdot 2} =- \dfrac{1}{2} ~~~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x_1=\pm \frac{2\pi}{3}+2 \pi n,n \in Z }\\ \\ \\ \cos x= \dfrac{-3-1}{2\cdot 2}=-1;~~~~~\Rightarrow~ ~~~~~\boxed{x_2= \pi +2 \pi n,n \in Z}$

$8)~2\sin^2x+\sin x-3=0$
Аналогично с примера 7) решим как квадратное уравнение относительно sin x
$D=b^2-4ac=1^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25$

$\sin x= \dfrac{-1+5}{2\cdot 2} =1;~~~~~\Rightarrow~~~~~\boxed{x_1= \frac{\pi}{2}+2 \pi k,k \in Z }$

$\sin x= \dfrac{-1-5}{2\cdot 2}=- \dfrac{3}{2}$  (*)
последнее уравнение (*) решение не имеет, т.к. синус принимает свои значения [-1;1].