Question

Исследовать и построить график функции y=x^3

Answer 1

$y=f(x)=x^3$

1)Область определения функции: D(x)∈R;

2)Область значений функции: E(y)∈R;

3)Исследование на четность-нечетность:
$f(x)=x^3\\ f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x)$
Функция нечетная.

4)Точек разрыва нет.

5)Нахождения уравнений асимптот:
y=kx+b;
k=$lim_{x\to+-\infty}{(\frac{f(x)}{x})}=\infty$
$lim_{x\to+\infty}{(x^2)}=\infty$
$lim_{x\to-\infty}{(x^2)}=\infty$
Не существует.
b=$lim_{x\to+-\infty}{(f(x)+kx)}$ так как k не удовлетворяет, то и kx тоже. Не существует.

Асимптот нет.

6)Исследование на монотонность функции и экстремумы:
$f`(x)=3x^2=0\\ x^2=0\\ x_{1,2}=0\\$
x=0 - критическая точка.
При x<0, f`(x)>0; ⇒ f(x) возрастает;
При x>0 f`(x)>0; ⇒ f(x) возрастает;
Так как знак при переходе через критическую точку не меняется, она не является точкой экстремума.
Монотонно возрастает.

7)Исследование на выпуклость-вогнутость:
$f``(x)=6x=0\\ x=0\\$
x=0 - точка перегиба.
При x<0, f(x)<0; ⇒ Выпуклая.
При x>0, f(x)>0; ⇒ Вогнутая.

8)Нули функции:
$f(x)=x^3=0\\ x_{1,2,3}=0$

9)График во вложении!!