Question

Найти предел f=(1-cos(7x)^2)/(x^2) при х-> 0

Answer 1

Сделаем замену сначала: 7x=t, т.е $x=\frac{t}{7}$

Поскольку x->0, то и 7x->0, значит и t->0.

Подставляем в наш предел то что получилось с учетом замены:

 $\lim_{t \to 0} \frac{1-cos(t^2)}{\frac{t^2}{7^2}}= \\=\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos(t^2))}{t^2}$

Поскольку нас неопределенность 0/0 можно использовать правило Лопиталя.

Получаем:

$\lim_{t \to 0} \frac{49(2t\cdot sin(t^2))}{2t}=\\ =\lim_{t \to 0} 49(sin(t^2))=0$

 Возможно я не так понял задание и там имелось в виду:

 $\lim_{x \to 0} \frac{1-cos^2(7x)}{x^2}$

 Тогда используем ту же самую замену.:

 $\lim_{t \to 0} \frac{49(1-cos^2(t))}{t^2}= \\= \lim_{t \to 0} \frac{49(sin^2(t))}{t^2}= \\=\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}$

Видим что здесь произведение двух "первых замечательных пределов", а именно:

$\lim_{t \to \0} \frac{sin(t)}{t}=1$

Используем этот факт и получим: $\lim_{t \to 0} 49\cdot \frac{(sin(t))}{t}\cdot \frac{(sin(t))}{t}=49$ 

Как-то так. Но обязательно проверь.