Question

1)докажите что функция f(x) является первообразной для функции f(x),если: а)f(x)=x^3-5x^2+7x-11 и f(x)=3x^2-10x+7 б)f(x)=2x^5+e^x и f(x)=10x^4+e^x 2)f(x)=1/x^2-2sinx x не равно 0 б)f(x)=1/x x> 0

Answer 1

Тупо дифференцируй F(x), если в ответе получается f(х), значит F первообразна f.

Ну а операция дифференцирования это проще арифметики, для медведей в цирке, думать не нужно, сплошная техника, в отличие от интегрирования.

Answer 2

Для доказательства того, что функция f(x) является первообразной для функции g(x), необходимо показать, что производная функции f(x) равна функции g(x).

1) В первом случае f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x - 11 и g(x) = 3x^2 - 10x + 7.

Для доказательства того, что f(x) является первообразной для g(x), вычислим производную f'(x) функции f(x):

f'(x) = d/dx (x^3 - 5x^2 + 7x - 11) = 3x^2 - 10x + 7.

Как видно, производная функции f(x) равна функции g(x), т.е. f'(x) = g(x), поэтому f(x) является первообразной для g(x).

2) Во втором случае f(x) = 2x^5 + e^x и g(x) = 10x^4 + e^x.

Вычислим производную f'(x) функции f(x):

f'(x) = d/dx (2x^5 + e^x) = 10x^4 + e^x.

Опять же, производная f(x) равна функции g(x), поэтому f(x) является первообразной для g(x).

3) В третьем случае f(x) = 1/x^2 - 2sinx (x ≠ 0).

Определим функцию g(x) как производную функции f(x), т.е. g(x) = d/dx (1/x^2 - 2sinx).

Вычислим g(x):

g(x) = d/dx (1/x^2 - 2sinx) = -2cosx - 2/x^3.

Видим, что g(x) не равна f(x) (1/x^2 - 2sinx), поэтому f(x) не является первообразной для g(x).

4) В четвертом случае f(x) = 1/x (x > 0).

Определим функцию g(x) как производную функции f(x), т.е. g(x) = d/dx (1/x).

Вычислим g(x):

g(x) = d/dx (1/x) = -1/x^2.

Видим, что g(x) равна f(x) (1/x), поэтому f(x) является первообразной для g(x).

Таким образом, для каждого из заданных примеров мы можем доказать, является ли функция f(x) первообразной для функции g(x).