Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .
sin(arcsin x) = x
arcsin(sin x) = x
Арксинус иногда обозначают так:
.
График арксинуса получается из графика синуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арксинуса.
Арккосинус, arccosАрккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений .
cos(arccos x) = x
arccos(cos x) = x
Арккосинус иногда обозначают так:
.
График арккосинуса получается из графика косинуса, если поменять местами оси абсцисс и ординат. Чтобы устранить многозначность, область значений ограничивают интервалом , на котором функция монотонна. Такое определение называют главным значением арккосинуса.
ЧетностьФункция арксинус является нечетной:
arcsin(–x) = arcsin(–sin arcsin x) = arcsin(sin(–arcsin x)) = – arcsin x
Функция арккосинус не является четной или нечетной:
arccos(–x) = arccos(–cos arccos x) = arccos(cos(π–arccos x)) = π – arccos x ≠ ± arccos x
Основные свойства арксинуса и арккосинуса представлены в таблице.
y = arcsin xy = arccos xОбласть определения– 1 ≤ x ≤ 1– 1 ≤ x ≤ 1Область значений Возрастание, убываниемонотонно возрастаетмонотонно убываетМаксимумы Минимумы Нули, y = 0x = 0x = 1Точки пересечения с осью ординат, x = 0y = 0y = π/2Таблица арксинусов и арккосинусовВ данной таблице представлены значения арксинусов и арккосинусов, в градусах и радианах, при некоторых значениях аргумента.
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
при или
при и
при и
при или
при и
при и
при
при
при
при
;
.
См. Вывод производных арксинуса и арккосинуса > > >
Производные высших порядков:
,
где – многочлен степени . Он определяется по формулам:
;
;
.
См. Вывод производных высших порядков арксинуса и арккосинуса > > >
Делаем подстановку x = sin t и интегрируем по частям:
.
Выразим арккосинус через арксинус:
.
При |x| < 1 имеет место следующее разложение:
;
.
Обратными к арксинусу и арккосинусу являются синус и косинус, соответственно.
Следующие формулы справедливы на всей области определения:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Следующие формулы справедливы только на множестве значений арксинуса и арккосинуса:
arcsin(sin x) = x при
arccos(cos x) = x при .
D = b² - 4ac = 49 - 4×9×(-2)= 49 + 72 = 121 = 11²
x1 = ( 7 + 11) / 18 = 1
x2 = ( 7 - 11) / 18 = - 4/18 = - 2/9
б) x² + 18x - 63 = 0
D = b² - 4ac = 324 - 4×(-63) = 576 = 24²
x1 = ( - 18 + 24) / 2 = 3
x2 = ( - 18 - 24) / 2 = - 21