Question

Дано уравнение sinx(4sinx-1)=2+ корень из (3)cosx. а. решите уравнение. б. найдите его корни, принадлежащие отрезку [-7п/2; -2п]

Answer 1

$sinx*(4sinx-1)=2+ \sqrt{3}*cosx$
Делим все на 2
$\frac{1}{2}*sinx*(4sin x-1)=1+ \frac{ \sqrt{3} }{2}*cosx$
Раскрываем скобки и вспоминаем, что
$\frac{1}{2}=sin \frac{ \pi }{6}; \frac{ \sqrt{3} }{2}=cos \frac{ \pi }{6}$
$2sin^2x-sin \frac{ \pi }{6}*sinx=1+cos \frac{ \pi }{6}*cosx$
$2sin^2x-1=sin \frac{ \pi }{6}*sinx+cos \frac{ \pi }{6}*cosx$
Слева -cos(2x), справа cos(x - pi/6)
$-cos(2x)=cos(x - \frac{ \pi }{6} )$
$cos(2x)=-cos(x - \frac{ \pi }{6} )$
Здесь возможны 2 случая
1) cos(pi - a) = -cos a
cos(2x) = cos(pi - x + pi/6)
2x = pi + pi/6 - x + 2pi*k
3x = 7pi/6 + 2pi*k
x = 7pi/18 + 2pi/3*k
x1 = 7pi/18 + 2pi*k
x2 = 7pi/18 - 2pi/3 + 2pi*k = -5pi/18 + 2pi*k
x3 = 7pi/18 - 4pi/3 + 2pi*k = -17pi/18 + 2pi*k

2) cos(pi + a) = -cos a
cos(2x) = cos(pi + x - pi/6)
2x = pi - pi/6 + x + 2pi*k
x4 = 5pi/6 + 2pi*k

На промежутке [-7pi/2; -2pi] = [-63pi/18; -36pi/18] будут корни
x1 = -5pi/18 - 2pi = -41pi/18
x2 = -17pi/18 - 2pi = -53pi/18
x3 = 5pi/6 - 4pi = -19pi/6 = -57pi/18